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HEC 2000 mathematiques iii classe prepa hec (eco)

4 pages
CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION ECONOMIQUEMATHEMATIQUES IIIAnnØe 2000La prØsentation, la lisibilitØ, l’orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision desraisonnements entreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.Exercice 11. Montrer que, pour tout nombre rØel x> 0 et tout entier naturel k; inl tØgrale1Z k xtt edt51+t1est convergente.Pour quelles valeurs de l entier k cette intØgralle est-elle aussi convergente pour x = 0 ?1 xtR e2. On se propose d Øtudier la fonction F dØ…nie, pour x> 0; par F (x) = dt:51+t1Montrer que F est une fonction strictement positive, dØcroissante et quelim F (x) = 0x! +13. (a) Montrer que, pour tout rØel t> 0; tout rØel x> 0 et tout rØel h> 0; on a : 2 2t h t(x+h) tx tx txe e + t he 6 e 21/4(b) Montrer de mŒme que, pour tout rØel t> 0; tout rØel x> 0 et tout rØel h6 0; on a : 2 2t h t(x+h) tx tx t(x+h)e e + t he 6 e 2(c) En dØduire que pour tout rØel x> 0 et tout rØel h tel ...
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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESIII Année 2000
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Exercice 1 1. Montrerque, pour tout nombre réelx >0et tout entier naturelk;lintégrale 1 Z kxt t e dt 5 1 +t 1 est convergente. Pour quelles valeurs de lentierkcette intégralle est-elle aussi convergente pourx= 0? 1 xt R e 2. Onse propose détudier la fonctionFdénie, pourx>0;parF(x) =dt: 5 1 +t 1 Montrer queFest une fonction strictement positive, décroissante et que limF(x) = 0 x!+1
3. (a)Montrer que, pour tout réelt>0;tout réelx>0et tout réelh>0;on a :
2 2 t h t(x+h)txtxtx ee+t he6e 2
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