´ ´ ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES
OPTION LETTRES ET SCIENCES HUMAINES
´ MATHEMATIQUES II
Mardi13mai2003,de8ha`12h.
Lapr´esentation,lalisibilite´,l’orthographe,laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapr´ecisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedansl’appre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvit´es`aencadrerdanslamesuredupossiblelesr´esultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel ´electroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’unere`glegradu´eeestautoris´ee.
Leprobl`emeapourobjetl’e´tudedelarentabilite´du«surbooking»pourunecompgainaee´irneen.
PartieI:Expressiondel’espe´ranceduchiffred’affaire
Dans cette partie,nest un entier naturel non nul,Ntienuneiruuoe´reus´pretgal`a2,eptnemrtsletciunr´ee compris entre 0 et 1. Unecompagniea´erienneavendun17q4velotucaiuepnteu`aceourlrospstellibeicuirllsqju`au’Npassagers. Laprobabilit´epourqu’unacheteursepre´sentea`l’embarquementestpet les comportements des acheteurs sontsuppose´sinde´pendantslesunsdesautres. Unacheteurquinesepr´esentepas`al’embarquementestrembours´e`a80%,tandisqu’unacheteurquise pr´esente`al’embarquementmaisn’obtientpasdeplace,levol´etantde´ja`complet,estrembourse´`a200%. SoitXcaeher’ddsu’etruletsnbilesenepr´’la`tnateuqrabme,ntmelavabairlaeltae´erioesd´naiglentmbno soitYsiamtnmeuerqbaeml’`antrivalaonelerbmgisetnanoiatd´releab´eal´rseneatlielstpeursd’unbd’achete n’obtenant pas de place et soitGonemnttaenriote´dengisltna´laelbaeraailvacentainesd’euros du chiffre d’affairedelacompagniesurlevolconside´r´e. Onsupposecesvariablesal´eatoiresd´efiniessurlemˆemeespacedeprobabilite´(Ω,A,P). 1.Quelle est la loi deXnoD?p´erancenersonesnaec.teasavir 2.ou,pourtecr´eristnPle´teme´ωde Ω, la valeur deY(ω) en fonction deNet deX(ω), en distinguant les casX(ω)> NetX(ω)6N. ´ 3.Ecrire l’expression deGen fonction den, X, Y. 4.On suppose, dans cette question seulement, quenfnitseal`au´egeuro´eriN. Calculeralorsl’esp´eranceE(Gaelbae´lvaleaira)dtoireG. Lacompagniecherchealorsa`e´valuerlaprobabilit´eP([X>Nreet])ovria`asonbmiselnuraiaetretpuˆ choisidefac¸ona`optimisersonchiffred’affaire.
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