HEC 2004 concours (4)

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HEC 2004 concours (4)

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• Publié par: porthos
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HEC III 2004

EXERCICE ´ 1. Etuded’une suite et programmation On note (c n ) n∈N suitlaelleer´einpe´dfieuoetuotrrientnstrictement positif par : ∗ Z 1 n−1 x c n = dx 1 +x 0 a) Montrerque (c n ) n∈N fi.ssotie´detorcenutsiuse´eerspelsaisednt ∗ 1 b) Montrerque, pour tout entiernstrictement positif, l’on a :c n+1 +c n =∙ n 1 1 ´ c) Etablir,pour tout entiernitalegn´:´eag`l2al,dauolbiesup´erieurou´e62c n 6∙ n n−1 Ende´duireune´quivalentsimpledec n quandntend vers l’infini. d) Calculerc 1 et prouver, pour tout entierne:t´ilage´’l,2a`lagerieurou´sup´e  ! n−1 X k+1 (−1) n c n = (−1)−ln 2 k k=1 ´ e) Ecrireun programme en Turbo-Pascal qui, pour une valeur d’un entiernfentr´eesemetcirtitisoptn par l’utilisateur, calcule et affiche la valeur dec n . ´ 2.Etuded’unesuitedevariablesale´atoires`adensite´ Pour tout entiernstrictement positif, on notef n l’application deRdansReinfi:rape´d   0 sit <1 f n (t) = 1  sit>1 n c n t(1 +t) ` a)Al’aided’unchangementdevariable,´etablirpourtoutentiernstrictement positif et pour tout Z Z x1 n−1 1u r´eelxeiruuoe´ag`l1al,sup´erd:e´tilage´’t= du∙ n t(1 +t+) 1u 1 1/x b)End´eduireque,pourtoutentiernstrictement positif,f n .tuesabilit´ee´edrpboenedsnti

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