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ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES MATH II BL
Lobjetduprobl`emeestl´etude,surunexemple,dunparadoxeconcernantlestempsdattentedecertaines configurations dans un jeu depile ou face. Onconside`redoncunesuiteinniedelancersdunepie`ce´equilibre´e,cest-`a-direpourlaquelle,`achaque lancer, les apparitions depileet defacesno´tqeabobpruis.le Onadmetquelexpe´rienceestmod´elis´eeparunespaceprobabilise´(Ω,A,P). Pour tout entier naturel non nulnaro,dn´esignepRnl´etnemene´vernclaauıtaˆarppaelipgnedarnet parSntemenv´enl´eface apparaˆıt au lancer de rangn
PartieI:Unr´esultatutile Onconside`reunevariableal´eatoireXΩr(de´neius,A,P), prenant ses valeurs dansNet, pour tout entier naturel non nuln, on pose :an=P([X=n]). +X n Ond´esigneparf0[eoidne´nlfanotcntervalliesurli,1] par :x[0,1], f(x) =anx. n=1 +X 1.que la suite (a) Justifieran)n>1´reerbseisitslopnesuestuenomitedtoufslsnuerv´anian= 1. n=1 b)Montrerque,pourtoutnombrere´elx[0leaalrpvpetnila`tnanetra,s´la],1erale´´nmrgeedetreei n anxest convergente. 2.Dans cette question, on suppose que la fonctionfreillveavb´leeraupeositndt´1e;ideno:c f(1)f(x) 0 lim =f(1) 1x x1 x<1  ! +n1 X X f(1)f(x) k ´ a)Etablirpourtoutnombrer´eelxde l’intervalle [0,e:t´liga´el1[=anx. 1x n=1k=0 f(1)f(x) b)End´eduirequelafonctionx7→est croissante sur [0,tuotru[1tellevqueepo´eri 1x f(1)f(x) 0 nombrere´elxde l’intervalle [0,etna0:sse´tvius´einliga1es[l6 6f(1). 1x N X 0 c) Montrerque, pour tout entier naturelN0non nul, on a :6nan6f(1). n=1 End´eduirequelase´riedetermege´n´eralnanest convergente.
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