HEC 2004 mathematiques iii classe prepa hec (eco)

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HEC III 2004EXERCICE´1. Etude d’une suite et programmation∗On note (c ) la suite r´eelle d´efinie pour tout entier n strictement positif par :n n∈NZ 1 n−1xc = dxn1+x0a) Montrer que (c ) ∗ est une suite d´ecroissante de r´eels positifs.n n∈N1b) Montrer que, pour tout entier n strictement positif, l’on a : c +c = ·n+1 nn1 1´c) Etablir, pour tout entier n sup´erieur ou ´egal `a 2, la double in´egalit´e : 6 2c 6 ·nn n−1En d´eduire un ´equivalent simple de c quand n tend vers l’infini.nd) Calculer c et prouver, pour tout entier n sup´erieur ou ´egal a` 2, l’´egalit´e :1 !n−1 k+1X (−1)nc = (−1) −ln2nkk=1´e) EcrireunprogrammeenTurbo-Pascalqui,pourunevaleurd’unentiernstrictementpositifentr´eepar l’utilisateur, calcule et affiche la valeur de c .n´2. Etude d’une suite de variables al´eatoires `a densit´ePour tout entier n strictement positif, on note f l’application deR dansR d´efinie par :n 0 si t< 11f (t) =n si t> 1 nc t (1+t)n`a) A l’aide d’un changement de variable, ´etablir pour tout entier n strictement positif et pour toutZ Zx 1 n−11 ur´eel x sup´erieur ou ´egal `a 1, l’´egalit´e : dt = du·nt (1+t) 1+u1 1/xb) En d´eduire que, pour tout entier n strictement positif, f est une densit´e de probabilit´e.n1/4HEC III 2004Dans la suite de l’exercice, on suppose que (X ) ∗ est une suite de variables al´eatoires d´efinies sur len n∈Nmˆeme espace probabilis´e (Ω,A,P), telle que, pour tout entier n strictement positif, X prend ses valeursndans [1,+∞[ ...

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HEC III 2004

EXERCICE ´ 1. Etuded’une suite et programmation On note (c n ) n∈N suitlaelleer´einpe´dfieuoetuotrrientnstrictement positif par : ∗ Z 1 n−1 x c n = dx 1 +x 0 a) Montrerque (c n ) n∈N fi.ssotie´detorcenutsiuse´eerspelsaisednt ∗ 1 b) Montrerque, pour tout entiernstrictement positif, l’on a :c n+1 +c n =∙ n 1 1 ´ c) Etablir,pour tout entiernitalegn´:´eag`l2al,dauolbiesup´erieurou´e62c n 6∙ n n−1 Ende´duireune´quivalentsimpledec n quandntend vers l’infini. d) Calculerc 1 et prouver, pour tout entierne:t´ilage´’l,2a`lagerieurou´sup´e  ! n−1 X k+1 (−1) n c n = (−1)−ln 2 k k=1 ´ e) Ecrireun programme en Turbo-Pascal qui, pour une valeur d’un entiernfentr´eesemetcirtitisoptn par l’utilisateur, calcule et affiche la valeur dec n . ´ 2.Etuded’unesuitedevariablesale´atoires`adensite´ Pour tout entiernstrictement positif, on notef n l’application deRdansReinfi:rape´d   0 sit <1 f n (t) = 1  sit>1 n c n t(1 +t) ` a)Al’aided’unchangementdevariable,´etablirpourtoutentiernstrictement positif et pour tout Z Z x1 n−1 1u r´eelxeiruuoe´ag`l1al,sup´erd:e´tilage´’t= du∙ n t(1 +t+) 1u 1 1/x b)End´eduireque,pourtoutentiernstrictement positif,f n .tuesabilit´ee´edrpboenedsnti

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