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HEC 2007 concours Maths 1 S

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HEC 2007 concours Maths 1 S

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Ajouté le : 21 juillet 2011
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HEC 2007, math 1, option S Pour tout entiernupsri´eroeuge´ua`lano,2etonMn(R)leevecspacleedotirirecmstaeer´arscs d’ordrenle,sceoca`e´rstneiItairecdilmaetentit´e,Mn,1(Rceveirotel)capscerias`deelatsm n nlignes et 1 colonne. On confondMn,1(R) etR. Pre´liminaires SoitEpanOlleproneusemecevritor´ell.eeracspneuE, toute applicationνdeEdansR+ ve´riant: i.ν(x) = 0 si et seulement six= 0 ; ii.pour toutλopruee,lr´ottuxdeE:ν(λx) =|λ|ν(x) ; 2 iii.pour tout couple (x, y) deE:ν(x+y)6v(x) +v(y). n Montrer que l’application|| ||deRva`asdsnaelruR+rutveucrtteuor:poiepae´nd   x1 n n   X= deR,||X||= max|xi|, est une norme surR. . 16i6n xn Partie I
A. Unenorme surMn(R) 1)aellippticaquona`,ituottameecirMnortreuqA= (ai,j) deMn(Rel,)er´ecielasso n   X max|ai,j|mrserunonetunied´,Mn(R). La norme deAranot´eese||A||. 16i6n j=1 n ´ 2)a)Etablir pour toutXdeRga´ein,le:t´li||AX||6||A|| × ||X||. n b)Montrer qu’il existe un vecteurX0deR, non nul, tel que||AX0||=||A|| × ||X0||. ||AX||End´eduireque||A||= sup. XR,X6=0||X||n   2 ´ c)Etablir alors que pour tout couple (A, B) deMn(R) ,on a||AB||6||A|| × ||B||. On dit qu’une suite(Am)m>0de matrices deMn(R)converge vers une matriceAdeMn(R)   silim||AmA||= 0. On poseAm=ai,j(m)etA= (ai,j)16i,j6n. 16i,j6n m+2 3)a)Montrer que (Am)m>0converge versAsi et seulement si pour tout (i, j) de[1, n]] : limai,j(m) =ai,j. m+b)Montrer que si (Am)m>0converge versAet (Bm)m>0converge versB, alors (AmBm)m>0 converge versAB. 4)SoitAde´nuel´ementMn(R) tel que||A||<1 m a)imr´lDnemieretA. m+b)Montrer que siλellde´reepoerurprvaletuneesA, alors|λ|<reuielqumaesictrsenE.1de´d IAetI+Asont inversibles.   m X k c)Montrer que la suiteAconverge, et exprimer sa limite en fonction de la matrice m k=0 A. Soit(Am)m>0une suite de matrices deMn(R)On.edeire´saleuqtidn´eraltermeg´eAm(qu’on p   X X noteraAm) converge, si la suiteAmconverge. p m>0m=0 +X Danscecas,salimiteestnote´eAm. m=0
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