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Concours HEC 2001 option conomique Mathmatiques III Exercice 1 On notemun paramtre rel et on considre les matricesHmdfinies par   1m m2   Hm=m1m 2m3m 3 3 On notehml’endomorphisme deRayant pour matriceHmdans la base canonique deR. 1. Onsuppose dans cette question quem= 2. (a) Dterminerles valeurs propres de la matriceH2et les sous-espaces propres associs. (b) LamatriceH2? Si oui, donner une base de vecteurs propres.est-elle diagonalisable ´ 2.Etudierdemeˆmelesvaleurspropresetlessous-espacespropresdeH0. Cette matrice est-elle diagonali-sable ? 3. (a)Montrer qu’il existe un rela, qu’on dterminera, qui est valeur propre dela matriceHmpour toutes les valeurs du paramtrem. (b) Dterminer,pour chaque valeur dem, le sous-espace propre associla valeur proprea. Montrer qu’on peut trouver un vecteur non nulv1appartenant tousces sous-espaces. 3 4. SoitFle sous-espace deRengendr par les vecteursv2= (1,0,1) etv3= (1,1,0). Dterminer les vecteurshm(v2) ethm(v3) et montrer que ces vecteurs appartiennentFpour toutmrel. 3 5. Ense placant dans la base deRforme des vecteursv1,v2etv3, dterminer les valeurs dempour lesquelles la matriceHmest diagonalisable. Exercice 2. On ralise une suite de lancers indpendants d’une pice de monnaie quilibre. On associecette exprience une suite (Xn)n1de variables alatoires indpendantes, dfinies sur un espace probabilis (Ω,A,P) et suivant toutes la loi 1 de Bernoulli de paramtre. 2 Pour tout entiern1, on posesuprieur ou galSn=X1+∙ ∙ ∙+Xn. Notation: SiZest une variable alatoire dfinie sur (Ω,A,P), on noteE(Z) son esprance. N.B. La partie II peut tre traite indpendamment de la partie I. Partie I. Prliminaire 1. (a)Dterminer la loi de probabilit de la variableSn. (b) Quellessont l’esprance et la variance deSn? 2. (a)Montrer que pour tout relεstrictement positif, on peut trouver une constanteKεtelle que, pour tout entiernsuprieur ougal 1,on ait l’ingalit :   Sn1Kε P− ≥εn2n
1 (b) Dduirede la majoration obtenue que, pour tout relrvrifiant 0< r <, on a : 2   Sn1 1 limP− ≥= 0 r n+n2n 3. Montrerd’autre part,l’aide du thorme de la limite centre, que la suite dfinie pourn1suprieur ou gal   Sn1 1 parnP>admet une limite non nulle   n2n   Sn1 L’objet de la suite de l’exrecice est l’tude d’une majoration de la probabilitP− ≥εmeilleure que la   n2 majoration obtenuela question 2.a. ´ Partie II. Etude de fonctions   x e+ 1 On considre la fonctionfdfinie surRparf(x) = ln. 2
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