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ICNA - Epreuve optionnelle 2000 Classe Prepa PC ENAC

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Examen du Supérieur ENAC. Sujet de ICNA - Epreuve optionnelle 2000. Retrouvez le corrigé ICNA - Epreuve optionnelle 2000 sur Bankexam.fr.
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ÉNONCÉ
Questions faisant partie d'un même exercice.
[1,2,3,4,5] [6,7,8,9,10,11] [12,13,14,15,16,17] [18,19,20,21,22] [23,24,25,26,27,28] [29,30,31,32,33,34,35] [36,37,38,39,40]
1.Une tige métallique homogène OA, de masse m et de longueurl, peut tourner autour d'un axe horizontal Oz. La liaison au niveau de son extrémité fixe O peut être considérée comme parfaite. L'extrémité mobile AOz glisse sans frottement sur un profil circulaire, de sorte qu'à chaque instant l'ensemble tige/profil assure la fermeture d'unezC circuit électrique constitué d'un condensateur de capacité C. L'ensemble est placé dans un champ magnétique uniforme etgi(t) constantB = Bez suivant l'axe de rotation Oz ( dirigévoir figure ci-contre). On désigne par i(t) la valeur instantanée du courant qui circuleθ dans le circuit, parθl'angle formé par la tige et la verticale etB pargl'accélération de la pesanteur. On négligera les chutes de tension dans les parties résistives du circuit. Donner l'expression de la force électromotrice d'induction e(t) quiA apparaît dans le circuit. a) e(t) =BA22ddθtb) e(t) =BA2ddθtc) e(t) =B4A2ddtθd) e(t) =2BAdtdθ
2.Exprimer le courant i(t) dans le circuit. a) i(t) =4BAC2ddt22θb) i(t) =BA22Cdtdθ
2 2 c) i(t) =2BAdCdt2θ
d) i(t) =BA22ddtC22θ
3.Calculer le moment résultant ML() par rapport à l'axe= Oz de la force magnétique de Laplace. a) ML(∆) = −B2A44tdCd22θb) ML(∆) = −2B2CA4tdd22θM −∆ =A2θ c) ML(∆) = −B22A2dtdC22θd)L( )B4C2dtd2
4.Calculer la pulsationω1pendule sachant que le moment d'inertie de lades petites oscillations du tige par rapport à l'axe de rotation= Oz vaut I(∆) =13mA2. a)ω1=A+3m2gA3b)ω1=2mA+mgB52A2C m B C m )16 gω = cω =4mA+3B2A3Cd)13mA2+Bmg2A2C 5.une bobine d'inductance propre L et de résistance négligeable.Le condensateur est remplacé par Calculer la nouvelle pulsationω2des petites oscillations du pendule. a)ω =gm34Am+LB2L3b)ω2=6mgA4+mAL3B2L32A
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c)ω2=
3mgA+2B2L2 4mA
d)ω2=
mgL+4B2A3 2mA
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6.Un milieu, de constante diélectriqueε0 de perméabilité magnétique etµ0 égales à celles du vide, contient, par unité de volume, des nombres égaux n d'ions positifs (charge+e, masse M) et d'électrons (chargee, masse m) de sorte que dans un volume mésoscopique (macroscopiquement petit) la charge totale soit globalement nulle. On soumet ce milieu à l'action d'un champ électriqueE, d'amplitudeE0, de pulsationω, que l'on peut exprimer en notation complexe sous la forme :E=E0expiωt). On négligera les interactions entre particules.Déduire des solutions forcées des équations différentielles du mouvement d'un ion et d'un électron, l'expression du courant volumiquejqui s'établit dans le milieu. = a)j= −i nω2e22mM+mMEb)ji ne2M+mEωmM 2i ne M m c)j= −neωMm+mMEd)jω=m+ME 7.Le champ électrique de la question précédente est celui d'une onde électromagnétique plane monochromatique de vecteur d'ondek. On noteraBle champ magnétique de l'onde et on négligera son action sur le mouvement des particules chargées du plasma. Des équations de Maxwell écrites en notation complexe, on peut déduire que : a)Les champsEetBsont transverses et orthogonaux entre eux. b)EetBsont orthogonaux entre eux mais seulEest transversal. c)EetBsont orthogonaux mais seulBest transversal. d)EetBsont transverses mais ne sont pas orthogonaux entre eux. 8.Montrer que la relation de dispersion k(ω) du milieu peut se mettre sous la forme : 2 p = kω21ωω2. Exprimerωp(pulsation plasma) et c. c2 2
ne2M+m 1 a)ωp= (m), c=0µ0Mε0µ
ne2εM+m 1 = c)ω00p(M), c=0 0µmε µ
b)ωp=0ne(2MMmm), c= ε0µ0ε +
d)ωp=
ne2M ε(M+m), c= 0m
9.Calculer les vitesses de phase vϕet de groupe vgpourω>ωp. a) vϕ=2ωc2, vg=cωω2ω2pb) vϕ=cω2ω2p, vg= ω − ωpω c) vϕ=2ωp,vc=ωcω2ω2pd) vϕ=ω2ωcω2, vg=cω g ω − ω p2p p
1 ε0µ0
ωc 2 2 ω − ωp ω2ω2 p
10.propagation d'une onde dans un plasma est équivalente à la propagation d'une ondeMontrer que la dans un milieu sans charge ni courant et de permittivitéε. Exprimerε. a)ε = ε01ωω2p2b)ε = ε01ωωpc)ε = ε01ωω22pd)ε = ε01ωωp22
11. nLes couches inférieures de l'atmosphère sont constituées d'un gaz neutre d'indicei Les1 . couches supérieures (ionosphère) sont assimilables à un plasma analogue à celui étudié précédemment.
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On définit l'indice ns d'un tel milieu par la relation : ns2= ε. Une onde plane susceptible de se propager ε0 dans l'ionosphère aborde la couche ionosphérique sous l'incidence i. Calculer la cosinus de l'angle it au-dessus duquel l'onde est totalement réfléchie vers le sol (angle deréfraction limite). a) cos it= ωb) cos it=ωpc) cos itω=ω2p2d) cos itωω=2p2ωpω
12.Une plaque horizontalePest animée dans son plan xOy d'un mouvement de translation rectiligne oscillatoire sinusoïdal de pulsationω 500 rad.s =−1. La vitessevpla plaque est donnée à chaque instant par lade gz relation :vp=v0sint)ex.h Cette plaque est surmontée, sur une hauteur h, d'un fluide visqueux homogène supposé incompressible, de masseFluide volumiqueρet de viscosité dynamiqueη(voir figure ci-visqueux contre).Pezx pOonurarsasinméiglleirgaerlalepslaefqfueetsàduenboprlda.nOinnfinnéigldiegesroartéegaqlueeml'eonntOex les effets de la pesanteur. Montrer que, dans ce modèle infini, le champ des vitessesv(x,y,z,t) du fluide peut s'écrire : a)v= v(x,z,t)exb)v= v(x,y,t)exc)v= v(x,t)exd)v= v(z,t)ex13.Exprimer le force volumique de viscositéf. 2v a)fη=z22vexb)f=η2exc)f=ηvzexd)fη=vxexx 14.Déduire, de l'équation de Navier-Stokes, l'équation aux dérivées partielles à laquelle obéit la vitesse v. a)vt=ηρz22vb)vt=ηρvzc)tv=ρηxvd)vt=ηρx22v 15.physiquement acceptable de cette équation aux dérivées partielles peut se mettre sousLa solution la forme : a) v(x, z, t) =v0expδxsinωtδzb) v(z, t) =v0expδzsinωtδzc) v(x, t) =v0expxsinωtδxd) v(z, t) =v0sinωtδz δ 16.Calculerδpourη 2,33 kg.m−1.s−1etρ= 1,26.103kg.m−3. = a)δ mm 5,1b)δ= 7,2 mmc)δ= 2,7 mmd)δ= 4,3 mm = 17.En déduire la puissance moyenne par unité de surfaceP doit fournir l'opérateur pour que entretenir le mouvement de la plaque. ηω d)P=v2a)P=v02ρη2ωb)P=v02ρη8ωc)P=v20ρ4η02ρ
18.Un générateur de tension parfait alimente un circuit électrique constitué par deux impédances complexes Zg=Rg+jXget Zu=Ru+jXu connectées en série. Quelles doivent être les relations, entre Rget Rud'une part et Xget Xud'autre part, pour que la puissance absorbée par Zusoit maximale ? a)Rg= Rub)Xg= Xuc)Xg=Xud)Rg= X u 19.considère le circuit électrique représenté sur le schéma de la figure ci-dessous constitué d'unOn condensateur de capacité C, d'un résistor de résistance Ruet deux bobines identiques d'inductance propre
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(I)
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L. Ces éléments sont tous connectés en série et les deux bobines peuvent, de plus, être couplés magnétiquement. On peut choisir le sens du couplage grâce à un interrupteur. Dans la position (I) l'inductance mutuelleL M L M est positive tandis qu'elle est négative dans la M position (II). Le coefficient de couplage k=peLtuLM L e ) êLterecaijrucsutiétàeusnteavlialmeeunrtcéompaprrisuenengtérené0raette1u.rdeforceR(tgRCu électromotrice e(t) =E0cost) 50 V efficaces et de de résistance interne Rg= 5. Sa pulsationωest telle que les impédances présentées par le condensateur et chacune des bobines non couplée sont respectivement 5et 12. On désire que la puissance consommée dans Rusoit maximale. Quelle doit être la valeur de Ru? a)Ru= 7b)Ru= 5c)Ru= 3d)Ru= 1220.Calculer cette puissance maximalePumax: a)Pumax= 125 Wb)Pumax= 25 Wc)Pumax= 50 Wd)Pumax= 75 W 21.Quelle doit être la valeur du coefficient de couplage k ? a)k = 0,512b)k = 0,317c)k = 0,415d)k = 0,792 22.La résistance du résistor vaut maintenant Ru= 10fait varier k et éventuellement le sens du. On couplage des bobines. Déterminer la gamme de puissance qui peut alors être fournie au résistor Ru. a) 53WPu78Wb) 47WPu92Wc) 28WPu102Wd)12WPu111W
23.horizontal de section droite S est rempli d'un gaz de masse volumiqueUn cylindre ρ0au repos et de coefficient de compressibilité isentropiqueχS. A l'équilibre le est à la pression atmosphérique P0. On notep(x,t),lasgurapzressionoupressionacoustiqueàl'instantP tdansleplandecotexlorsqpul'aucneeraonddaensacleousctaidqrueedseeP0+ p(x,t) lp'aropppraogxeimdaatnisonleacgoauzs.tiqOune.sEenappliquantlethéorèmeduP0
centre de masse à une tranche de gaz comprise entre les plans de cote x et x+ déterminer l'équation aux dx,Oexx dérivées partielles liant la vitesse de déplacement v(x,t) de la tranche de gaz considérée à la surpression p(x,t) qui y règne. a)ρ0vt=pxb)ρ0vt=pxc)ρv= − ∂pd)ρ0vx=tp0xt 24.En supposant que la tranche de gaz subit une évolution adiabatique réversible au passage de l'onde, écrire une autre équation aux dérivées partielles liant v(x,t) et p(x,t). vp a)xv= χStpb)vt= χSxpc)tvρ=0Sxpd)x= −χSt
25.En déduire la vitesse de propagation c de l'onde dans le gaz. ρ0 a) c=1b) c= ρ0χSc) c = ρ0χSχS
d) c=1 ρ0χS
26.Le gaz est le siège d'une onde progressive plane monochromatique de pulsationω et de vecteur d'ondeki=kex propageant  sedans le sens des x croissants et d'une onde plane réfléchie de vecteur d'ondekr= −kex se propageant en sens inverse. En notation complexe, les surpressions pi(x, t) et pr(x, t)associées respectivement aux ondes directe et réfléchie s'écrivent : pi(x, t) =p0iexp[itkx)] et pr(x, t) =p0rexp[iωt+kx)]
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On note p(x, t)l'expression en notation complexe de la surpression résultant de la superposition des deux ondes. L'onde réfléchie provient de la réflexion de l'onde directe sur une paroiP masse m disposée dans le de plan de cote x = 0 et pouvant se déplacer autour de cette position d'une quantitéξ(t) (très petite devant lalongueur d'onde de l'onde acoustique) avec une vitesseut)u t)ex. Cette paroi est en outre soumise à l'action d'une force élastique que l'on peut modéliser par un ressort de raideur K et d'une force de frottement visqueuxf= −2αmω0uex oùα est une constante positive etω0='uqarttemdanO.Kàm droite de la paroiP, l'air reste constamment à la pression atmosphérique P0. Exprimer l'amplitude complexe u0de la vitesse de déplacement de la paroi enrégime forcé. ω + pi S p a) u0=mω020Sωp2i0+2ipα0rω0ωb) u0=mωω020ω20i+2iα0rω0ωiω +i S p p c) u0=mω2Sωpi02+pi20rd) u0=ω02ωω0i2+i0αrω0ω0αω0ωm 2 27. r pourOn définit le coefficient de réflexion l'amplitude complexe de la surpression par la relation r=p0r. Montr r=1Aω A. Exprimerω). p0ier que l'on peut mettre 1 r sous la forme :+Aω)() a) A(ω) =m2iρ0S2ω+22iαω ωb) A( )iρ0Sω20ω = kω0ω0 mkω20ω22iαω0ω 0 c) A(ω) =kω2ρ0ω2mSω+2i02αωωd)( )iρkSω2  Aω =2 20 0mω0− ω −2iαω0ω
28.Calculer le coefficient de réflexion r0lorsque la paroi est maintenue immobile en x = 0. a) r0=0b) r0=1c) r0=1d) r0=12
29.Un récipient à parois rigides et calorifugées est divisé en trois compartiments étanches par deux cloisons mobilesP1 etP2 pouvant se déplacer sans frottement. La cloisonP1 estdiathermane que la tandisParois mobiles cloisonP2 estadiabatique (voir figure ci-contre). LesI0 compartiments (1), (2) et (3) contiennent chacun une mole de gaz parfait diatomique. Un générateur électrique fournit de l'énergie au gaz par l'intermédiaire d'un résistor deR0 (3)(1) (2) résistance R0, de capacité thermique négligeable, parcouru par un courant constant d'intensité I0pendant une duréeτ. Dans l'état initial, les gaz sont à la même température T0et àP1P2 la même pression p0. Ils occupent alors chacun le même volume V0. On désigne par R la constante des gaz parfaits et parγ =cp rapport des capacités le cV thermiques massiques à pression constante cp à volume constant c etV. On fait passer un courant suffisamment faible pour que le système évolue lentement. On arrête le chauffage lorsque la température du compartiment (3) est T3f=aT0avec a > 1. Calculer la pression finale pfen fonction de p0, a etγ. a) pf=p0aγ/(γ −1)b) pf=p0aγ/(1− γ )c) pf=p0a(γ −1)/γd) pf=p0aγ
30.Calculer le volume V3fgaz dans le compartiment (3) en fonction de Vdu 0, a etγ. a) V3f=V0a(1−γ )b) V3f=V0a1 /γc) V3f=V0a−γd) V3f=V0a1 /(1−γ )
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31.Exprimer le volume final V1fgaz dans le compartiment (1) en fonction de Vdu 0, a etγ. a) V1f=2V03a(1−γ )b) V1f=2V03a−γ01 / c) V1f=2V03a1 /(1−γ )d)V1f=3V2aγ
32.En déduire la température finale T1fdu gaz dans le compartiment (1) en fonction de T0, a etγ. a) T1f=T20aγ3a1 /(γ −1)b) T1f=T20aγ/(γ −1)3+a1 /(γ −1)c) T1f=2T0aγ3a1 /γd) T1f=T20aγ/(γ −1)3a1 /(1−γ )
33.Calculer le travail Wgfourni par le générateur. a) W=R(1f+3f3T0)gγ −21TTb) Wgγ=R1(T1f+T3f+T0) W=R(1f 3fT0)+ − c) Wgγ=R1(T1fT3f+T0)d)gγ −T3T312
34.Calculer la variation d'entropieS du système constitué par l'ensemble des gaz des trois compartiments.∆ = 1f+ln2V1fa) S Rγ11nlTT0 V0b)S=2Rγ1n1lTT1f0+lnVV1f0c)S=Rγγln1TT1f+lnVV1f0d)S=2RlnTT1f0+lnVV10f0
35.Calculer l'entropie totale Sp dans le système constitué par l'ensemble des gaz et du produite résistor. a) Sp=0b) Sp= ∆Sc) Sp= −∆Sd)Sp=2R lnTTf10
36.L'objectif d'un microscope est constitué de deux miroirs sphériques M1 M et2 même centre O de (voir figure ci-contre). Le miroir M1 estconcave et l'on désigne par R1=S1O la valeurqieuéthmitarde son rayon de courbure. Le miroir est percé d'une ouverture circulaire centrée sur son sommet S1. Le miroir M2de sommet S2 estM2F convexeet R2=S2 la valeurO représenteeuartimhtéqii de son rayon de courbure. Il existe entre les valeursarith-O S2S1 métiquesdes deux rayons la relation : R2= kR1avec k < 1. La lumière qui provient d'un objet se propage d'abord de gauche à droite, se réfléchit sur M1 puis sur M2 pourM1 traverser enfin l'ouverture pratiquée dans M1. La dimension de M2est suffisamment petite pour que l'on puisse considérer que ce miroir n'occulte pratiquement pas les rayons lumineux provenant d'un objet placé devant lui. Un objet étendu est placé dans le plan de front passant par O. Trouver la position OAi point A duiconjugué de O par rapport à l'ensemble des deux miroirs. a) OAi=0b) OAi=R2c) OAi=R1d) OAi= (k+1)R137.Quel est dans ce cas le grandissement transversal Gtde ce système optique ? a)Gt= 1b)Gt=1c)Gt= 2d)Gt=2 38.On admettra que le système constitué par l'ensemble des deux miroirs est équivalent à une lentille mince L dont le centre optique est confondu avec le point O.
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