Insalyon analyse matricielle 2002 bim bioinformatique et modelisation semestre 1

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Analyse Matricielle – 3 BIM´Devoir Surveille – 27 novembre 2002Tous les documents sont autoris´es.Le barˆeme est donn´e a` titre indicatif, et sera ...

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• Publié par: shura
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Analyse Matricielle – 3 BIM DevoirSurveill ´ e–27novembre2002 Touslesdocumentssontautorise´s. Lebareˆmeestdonn´e`atitreindicatif,etserasusceptibled’eˆtrel´eg`erementmodifie´. Lesexercicessontind´ependantsetpeuventdoncˆetretrait´esdansunordrequelconque. Ilestconseille´desoignerparticuli`erementlare´daction.

Exercice 1 :(5 points) Onconside`relamatrice   1 2−2   A 1 1= 1 . 2 21 Calculerlesmatricesd’ite´rationJde Jacobi etGaselcisos-usidSeaGede´sea`A. Les me´thodesdeJacobietdeGauss-Seidelconvergent-ellespourcettematriceA?

Exercice 2 :(8 points) Onseproposed’estimerunparame`trer´eelα,und’suislele`domeriae´nisimpleαx=y. Pour cela, on effectue deux mesures sur la variableypour des valeurs respectives dex 1 = 1 etx 2 = 2.Les mesures nous donnent :y 1 = 2 ety 2 = 5. 1.Ecrirelesyst`emelin´eairecorrespondantsouslaformematricielleAα=Bu,o`α∈R, 2 B∈RetA∈ M 2,1 (RC.)no?me`tsyse-iluea-tlutineso + 2.Calculerl’inverseg´en´eralise´eAdeA. 3.De´termineralorslasolutionαdpuorlbe`emtse`syau´ecisoasesr´racserdniomsedem Aα=B.

Exercice 3 :(6 points) Soits >0 et soit la matrice   s−1 0   A = 1s−1 . 0 1s 2 1. Montrerque det(A) =s(set que+ 2)   2 s+ 1s1 1 −1 2   A= −s .s s det(A) 2 1−s s+ 1 √ 1 2 −1 2. Montrerensuite quekAk 2 = 2+s, puis quekAk 2 = . s 3. CalculerCond 2 (Aremarque-t-on lorsque). Questnevdrezse´or?

Exercice 4 :(1 point) Pour toute matriceA∈ M n,n (Cnfiti,o)´end kAk r =ρ(A), o`uρ(A) est le rayon spectral deA. kAk r qruo?iouelci?Pleemrmriatd-eitfin´enoneeull

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