Insalyon analyse matricielle 2004 bim bioinformatique et modelisation semestre 2

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Analyse Matricielle – 3 BIM´Devoir Surveille – 28 avril 2004Tous les documents sont autoris´es.Le barˆeme est donn´e a` titre indicatif, et sera susceptible ...

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• Publié par: shura
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Analyse Matricielle – 3 BIM DevoirSurveill ´ e–28avril2004 Touslesdocumentssontautoris´es. Lebareˆmeestdonne´a`titreindicatif,etserasusceptibled’ˆetrel´eg`erementmodifi´e. Lesexercicessontinde´pendantsetpeuventdonceˆtretrait´esdansunordrequelconque. Ilestconseill´edesoignerparticulie`rementlar´edaction.

Exercice 1 :(6 points) Une matriceG∈ M n,n (R) est ditestochastiques,tusvi´tsessnonaetdeuxilesri´eprop ve´rifie´es: •tous les coefficients sont positifs ou nuls :∀i= 1. . . n,∀j= 1G. . . n, i,j ≥0, n X •la somme sur chaque ligne vaut un :∀i= 1. . . n,G i,j = 1. j=1 1. MontrerquekGk ∞ = 1 et quekGk 1 ≤n. 2. Montrerque 1 est valeur propre deGeduireque´dnete,ρ(G) = 1.

Exercice 2 :(7 points) On mesure le poidsPen kilos et la tailleTxueda`ennos`mteneitecnepermˆem’uneresd aˆgesdiffe´rents.Envertudelarelation 2 P 2 =k⇐⇒T k=P T o`ukquitauxacserdniel,se´rrus,aeruvmoessdenedxurahcerusatelleraro,tpoge´endme caract´eriselapersonneenquestion,sil’onprendl’hypoth`esequ’ilestlemˆemeauxdeux ˆagesconside´re´s. Age Taille Poids 1T 1 = 120P 1 = 50 2T 2 = 160P 2 = 60 Exercice 3 :(7 points) SoitA∈ M n,n (R) hermitienne.Le but est de montrer que dans ce cas : + Sp(A)⊂ {−1,0,1} ⇐⇒A=A. H •Implication :supposons queSp(A)⊂ {−1,0,1}. MontrerqueSp(A A)⊂ {0,1}. + +H SoitΣlapseudo-diagonalis´eedeAiueruqetron.Mde´dnE.Σ=ΣeuqreA=A et conclure. + + •:euqppusnosoeuqsR´eciproA=AnE´dΣ=.eruqdeiueon.MertreΣqu H Sp(A A)⊂ {0,1}et conclure. Comments’´ecritl’´equivalencequel’onvientdede´montrer,sil’onsupposedeplusqueA est inversible ?