Insalyon mathematiques ii 2006 tc

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77INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUÉES DE LYONPÔLE DE MATHEMATIQUESDépartement du Premier Cycle - ASINSA 2006-2007Mathématiques Deuxième Année - Semestre 1Interrogation écrite IIAvertissement: les documents et calculatrices sont interdits. Durée 1h30.Les exercices ...

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• Publié par: shura
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INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUÉES DE LYON PÔLE DE MATHEMATIQUES Département du Premier Cycle  ASINSA20062007 Mathématiques Deuxième Année  Semestre 1 Interrogation écrite II Avertissement: lesdocuments et calculatrices sont interdits.Durée 1h30. Les exercices peuvent être traités dans un ordre quelconque.Le barème est donné à titre indicatif. La présentation, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation de la copie. Exercice1(10 points) R b 1 at On se propose de déterminer une valeur approchée detdtoùaetbsont deux réels strictement positifs. 0 b at 1  Justifier que l’applicationt∈]0,1]7−→test prolongeable en une applicationfcontinue sur[0,1]. ( n 1 b (axln(x))six∈]0,1] P n! 2  On considère la série d’applicationsf n définie parf n :x∈[0,1]−→7. n 0six= 0 b by a que) Justifiersup|xln(x)|= sup|ye|et calculer la valeur de ce supremum. x∈]0,1]y∈]−∞,0] P b que) Montrerf n converge uniformément sur[0,1]et a pour sommef. n Z +∞ Z 1 1 X 1 b at b n 3  Montrer quetdt= (atln(t)) dt. n! 0 0 n=0 Z 1 ∗ α n 4  Pourα∈t. R + etn∈N, on noteI α,n =t(lnt) d 0 n ∗ a que pour tout) Montrern∈Non aI α,n =−I α,n−1 . α+ 1 b ) Endéduire la valeur deI α,n (en fonction denet deα). n X k k (−1)a 5  Pour toutn∈N, on noteS n =. k+1 (bk+ 1) Z k=0 1 b at a que) Montrertdt= limS n . n→+∞  0 Z  n+2 1 1a b ∗ at b que pour tout) Montrern∈Non atdt−S n 6.   a b(n+ 1) + 1 0 c ce résultat et conclure.) Interpréter Exercice2(10 points) 1  Soitzun nombre complexe de partie réellexet de partie imaginairey. a ) Exprimer|sin(z)|à l’aide des fonctions réelles de la variable réelle sinus, cosinus, sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique enxety. b déduire que) En|sh(y)| ≤ |sin(z)| ≤ch(y). c que la fonction sinus complexe n’est pas bornée sur) MontrerC. 2 2 2  Montrer que pour toutz∈Con a|cos(z)|+|sin(z)| ≥1et que l’égalité a lieu uniquement sizest réel.   X 1z 3  a ) Montrerque la série de fonctionssinconverge absolument dansC. 2 2 n n n≥1 On désigne parfl’application deCdansCqui est la somme de cette série. b que cette série ne converge pas normalement sur) MontrerCmais qu’elle converge normalement sur le disqueD(0, R)pour toutR∈R + . c ) Justifierquefest une application continue surC. P +∞ 1 4  Pourp∈N,p≥2on noteζ(p) = p pourra montrer ou admettre que. (Onζ(p)∈[1,2].) n=1 n P On admet le résultat suivant :la série double 2 a nk converge si et seulement si pour chaque entierk (k,n)∈N P PP +∞ t convergente et lae determe généralA=|a|converge; la sériea nk sériest absolumen k A k k n=0 nk n +∞+∞+∞+∞ X XX X on a alorsa nk =a nk . n=0 k=0k=0 n=0 +∞ X k (−1) 2k+1 a ) Montrerque pour toutz∈Con af(z) =ζ(4k+ 4)z . (2k+ 1)! k=0 ∞ b ) Endéduire quefest de classeCsurC.