Intégration – Algèbre linéaire – Fonctions de plusieurs variables 2006 Tronc Commun Université de Technologie de Belfort Montbéliard

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Examen du Supérieur Université de Technologie de Belfort Montbéliard. Sujet de Intégration – Algèbre linéaire – Fonctions de plusieurs variables 2006. Retrouvez le corrigé Intégration – Algèbre linéaire – Fonctions de plusieurs variables 2006 sur Bankexam.fr.

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• 2006

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 16 mars 2009
• Nombre de lectures: 31
• Langue: Français

Extrait

UTBM - MT12 - le 13 Juillet 2006
M´edian
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4
recto-verso r´edig´ee `a la main
Chaque exercice doit ˆetre r´edig´e sur une feuille
diff´erente
Il sera tenu compte dans la correction de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
Exercice 1 (Questions de cours) - 6 points
Les questions suivantes ne n´ecessitent pas de calculs. La r´eponse tient en 2
lignes maximum.
i) Soient E et F, 2 espaces vectoriels surR. A quelle condition sur dim E et dim F
peut on trouver une application lin´eaire surjective E dans F qui ne soit pas injective?
Justifier.
0 1
a
B Cb 4B Cii) Justifier rapidement que F =f 2R =a=c;b=dg est unR-espace vectoriel@ Ac
d
et donner une base de F.
4iii) Donner un suppl´ementaire G de F du ii) dansR . Justifier.
iv) Calculer en fonction de m2R,
0 1
2 2 2 2m +1 m m m
2 2 2 2B Cm m +1 m mB Cdet :@ A1 ¡1 1 ¡1
2 2 2 2m m m m
Exercice 2 (6 points) (NOUVELLE FEUILLE)
Soit E unR-espace vectoriel de dimension 5. Soit B =fb ;b ;b ;b ;b g une base de E.1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 01)MontrerquelafamilleB =fb =b +b ;b =b +b ;b =b +b ;b =b +b ;b =b g1 2 2 3 3 4 4 5 51 2 3 4 5
est une base de E.
0 1
x1
B Cx2B C
B C2) Soit x2E avec x = x (coordonn´ees de x dans B).B 3B C
@ Ax4
x5
0Quelles sont les coordonn´ees de x dans la base B ?
3) D´eduire de la question 2) la matrice de passage de B a` B (c.`a.d. P telle que
x =P :x )?
TOURNERLAPAGES.V.P.
1Exercice 3 (4 points) (NOUVELLE FEUILLE)0 1 0 1 0 1
1 0 0
3@ A @ A @ ASoit C =fc = 0 ;c = 1 ;c = 0 g la base canonique deR1 2 3
0 0 1
Soit l’application lin´eaire donn´ee dans C par
3 3f : R ¡! R0 1 0 1
x x+y
@ A @ Ay 2y7!
z ¡2x+2y+3z
On cherche `a d´eterminer une base B =fb ;b ;b g dans laquelle la matrice de l’appli-1 2 3
cation f sera 0 1
1 0 0
@ A0 2 0 :
0 0 3
1) Que doivent v´erifier b , b et b pour que la matrice de f dans fb ;b ;b g soit celle1 2 3 1 2 3
que l’on cherche?
2) En d´eduire des vecteurs b , b , et b qui satisfont `a notre recherche.1 2 3
Exercice 4 (6 points) (NOUVELLE FEUILLE)¶
1 1¡2 6Soit A= 10 3
¶
1 021. D´eterminer P 2M (R), inversible, telle que A:P =P:D ou` D =2 10 3
2 n ⁄2. Exprimer A en fonction de P et D, puis A . G´en´eraliser `a A (n2N ).
3. Soient (U ) et (V ) deux suites telles quen n2 n n2
⁄8n2N ,
‰
1 1U = U ¡ Vn n¡1 n¡12 6
1V = Vn n¡13
avec U ;V 2R fix´es.0 0 ¶ ¶ ¶ ¶
U U U U1 2 0 nExprimer , puis , en fonction de A et . G´en´eraliser `a
V V V V1 2 0 n¶
U0en fonction de A, n et
V0
4. D´eduire des questions pr´ec´edentes les limites des deux suites.
2