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INTM 2006 mathematiques

11 pages
Probleme.`Premiere` Partie.1) Pas de question.2) a) Par une recurrence evidente sur n, on montre que le degredeT est egal a n.´ ´ ´ n ´ `nb) Soit a letermedeplushautdegredeT ,ona:a = 2a et a = 1, donc a = 2 .n ´ n n+1 n 0 nc) Par recurrence sur n, on pose P (n) : ∀ p n,T (cosθ) = cospθ.´ pP (0) est vraie, supposons P (n),T (cosθ) =2cosθT (cosθ)−T (cosθ)n+1 n n−1D’ou:T (cosθ) =2cosθcosnθ −cos(n−1)θ,or,` n+1 n+1+n−1 n+1−n+1cos n+1θ+cosn−1 θ =2cos θcos θ( ) ( )2 2donc cos n+1 θ =2cosθcosnθ −cos n−1 θ et P n+1 est vraie.( ) ( ) ( )3) La famille T est une famille libre car les degres sont echelonnes, c’est une base car elle est libre( ) ´ ´ ´n 0nNde cardinal N+1= dim R X .( [ ])N4) L’application x → T x T x est continue sur −1,1 , elle est donc bornee, on alors :( ) ( ) [ ] ´n m|T (x)T (x)| Mn m√ √2 21−x 1−x1 1 1Or √ ∼ , l’application x → est integra´ ble sur ]−1,1[ car riemanienne√ √1 12 x→11−x 2 22(1−x) 2(1−x)1 1d’exposant .Parparite, l’application x → √ est integrable sur −1,1 ,d’ou l’application x →´ ´ ] [ `22 1−xT x T x( ) ( )n m√ est integra´ ble sur ]−1,1[.21−x 1 π πT (x)T (x) 1n m5) √ dx = cosnθcosmθdθ = cos m+n θ +cos m−n θ dθ( [( ) ] [( ) ])2 x=cosθ 21−x−1 0 01 0sim = nT (x)T (x)n m π√ dx =2 si m = n.1−x 2−1Deuxime Partie. 1 P (x)Q(x)1) L’application P|Q → √ dxestbiendefinie(voirmethodeduI)4)),elleestbilineairepositive( ) ´ ´ ´21−x−1 a 2P x( )de maniere claire. De plus (P|P) =0entraıne ∀a ...
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