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I. S. F. A. _________
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES ________________________________________
Durée : 4 heures
Les calculatrices sont interdites. Les problèmes I et II sont indépendants
I
On noteΓ(t),ψ(t)etϕ(t)les intégrales : t1t1t1 x xx Γ(t)= dx ;ψ(t)= dx ;ϕ(t)= dx. x xx e e+1 e1 o o o 1°- Justifier pourt>0 l’existence deΓ(t)etψ(t) et,pourt>1, l'existence deϕ(t). 2°- Montrer que, pourt>1,Γ( t )=( t1 )Γ( t1 ). CalculerΓ(n)pournentier strictement positif. Dans la suite du problème on supposet>1 *3°- On noteϕ(t)etψ(t)les suites définies surNpar : n n xxnx t1 nϕ(t)=e (1+e++x dxe )n o xx nnx t1 nψ(t)=e (1e++(e )1 )x dxno (Il n'est pas demandé de justifier l'existence des intégralesϕ( t )etψ( t ) ( voir 1°-)) n n Justifier les inégalités : Γ ( n+1 )xt2( t1 ) ϕ( t )ϕ( t )dxe x=n t1 o( n+1 ) ( n+t2 )x1Γ( t ) ψ( t )ψ( t )e xdx=n t o( n+2 ) 4°- On pose, pournentier strictement positif : n+1 1 11 (1 ) t )U (=1+ +..+;t )S (=1− +..+n n t tt t 2 n2 n Montrer que : ϕ( t )=Γ( t )×U (t );ψ( t )=Γ( t )×S (t )n n+n1 n+1 n+1 1 (1 ) Déduire la convergence des sérieset . tt nn1n n1 En notantU(t)etS(t)les sommes de ces deux séries montrer que : 1 1  U( t )t )U (;S( t )t )S (. n n t1 t ( t1 )n( n+1 )
1998
1998-1999 _________
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