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ISFA 1998 1ere epreuve de mathematiques

3 pages
I. S. F. A. 1998-1999 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES ________________________________________ Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. Les problèmes I et II sont indépendants I On note Γ()t , ψ()t et ϕ()t les intégrales : ∞−t 1 ∞−t 1 ∞−t 1x x xΓ()t = dx ; ψ()t = dx ; ϕ()t = dx . ∫ ∫ ∫x x xe e + 1 e − 1o o o1°- Justifier pour t>0 l’existence de Γ()t et ψ()t et, pour t>1, l'existence de ϕ()t . 2°- Montrer que, pour t>1, Γ ( t )= ( t− 1)Γ ( t− 1) . Calculer Γ()n pour n entier strictement positif. Dans la suite du problème on suppose t>1 * 3°- On note ϕ ()t et ψ ()t les suites définies sur N par : n n∞−x −x −nx t−1n→ϕ ()t = e (1+ e ++ e ) x dx n ∫o∞−x −x n −nx t−1n→ψ ()t = e (1− e ++(−1) e ) x dx n ∫o(Il n'est pas demandé de justifier l'existence des intégrales ϕ ( t ) et ψ ( t ) ( voir 1°-)) n nJustifier les inégalités : ∞Γ ( t−1)−( n+1 )x t−2 ϕ ( t )−ϕ( t ) ≤ e x dx= n ∫ t−1( n+ 1)o∞Γ ( t )−( n+2 )x t−1 ψ ( t )−ψ ( t ) ≤ e x dx= n ∫ t( n+ 2 )o4°- On pose, pour n entier strictement positif : n+11 1 1 (−1) U ( t )= 1+ + ..+ ; S ( t )= 1− + ..+ n nt t t t2 n 2 nMontrer que : ϕ ( t )=Γ ( t )×U ( t ) ; ψ ( t )= Γ ( t )× S ( t ) n n+1 n n+1n+1(−1)1Déduire la convergence des séries et . ∑ ∑t tn n≥1 nn≥1En notant U(t) et S(t) les sommes de ces deux séries montrer que : 1 1 U( t )−U ( t ) ≤ ...
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I. S. F. A. _________
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES ________________________________________
Durée : 4 heures
Les calculatrices sont interdites. Les problèmes I et II sont indépendants
I
On noteΓ(t),ψ(t)etϕ(t)les intégrales : t1t1t1 x xx Γ(t)= dx ;ψ(t)= dx ;ϕ(t)= dx. x xx e e+1 e1 o o o 1°- Justifier pourt>0 l’existence deΓ(t)etψ(t) et,pourt>1, l'existence deϕ(t). 2°- Montrer que, pourt>1,Γ( t )=( t1 )Γ( t1 ). CalculerΓ(n)pournentier strictement positif. Dans la suite du problème on supposet>1 *3°- On noteϕ(t)etψ(t)les suites définies surNpar : n n xxnx t1 nϕ(t)=e (1+e++x dxe )n o xx nnx t1 nψ(t)=e (1e++(e )1 )x dxno (Il n'est pas demandé de justifier l'existence des intégralesϕ( t )etψ( t ) ( voir 1°-)) n n Justifier les inégalités : Γ ( n+1 )xt2( t1 ) ϕ( t )ϕ( t )dxe x=n t1 o( n+1 ) ( n+t2 )x1Γ( t ) ψ( t )ψ( t )e xdx=n t o( n+2 ) 4°- On pose, pournentier strictement positif : n+1 1 11 (1 ) t )U (=1+ +..+;t )S (=1− +..+n n t tt t 2 n2 n Montrer que : ϕ( t )=Γ( t )×U (t );ψ( t )=Γ( t )×S (t )n n+n1 n+1 n+1 1 (1 ) Déduire la convergence des sérieset . tt nn1n n1 En notantU(t)etS(t)les sommes de ces deux séries montrer que : 1 1  U( t )t )U (;S( t )t )S (. n n t1 t ( t1 )n( n+1 )
1998
1998-1999 _________
Concours d'Entrée _______________
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