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I. S. F. A. _________
1999-2000 _________
 Concoursd'Entrée  _______________ PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Le problème proposé porte sur l'étude de certaines propriétés des minimun des fonctions +∞q mxm f(x)q est un entier et f(x) une fonction positive. La notation Idx oùA(x) désigne la fonction qui prend −∞ la valeur 1 si xA et 0 sinon. La rédaction a été conçue pour que les parties A , B et C soient très largement indépendantes. Seules les questions B-6° et C-4° utilisent les notations et certains résultats de la partie A. - A -Soit f une fonction réelle à valeurs réelles positives, continue et dont le support {x / f(x)>o} est un intervalle borné ou non et non vide. +∞ n On suppose que les intégralesI=absolument convergentes pour tout entier n positif ou nul et quex f(x)dx sont n −∞ +∞ l'intégrale I=est égale à 1.f (x)dx 0 −∞ +∞ 2 1°) Onnoteϕ(m) l'intégrale(xm) f(x)dx . −∞ a -Montrer queϕ(m) existe pour tout réel m. +∞ b -Montrer que la fonction m→ ϕ(m) est dérivable en tout point m et a pour dérivée : 2(mx)f (x)dx . −∞ c -En déduire qu'il existe un unique réel (noté m2) tel que, pour tout réel m, on ait :ϕ(m )≤ ϕ(m).Donner 2 l'expression dem àl'aide de l'intégraleI . 2 1 +∞ 2°) Onnoteψ(m) l'intégralexm f (x)dx . −∞ a -Montrer queψ(m) existe pour tout réel m. b -Montrer que la fonction m→ ψ(m) estdérivable en tout point m. (on pourra écrireψ(m) sousla forme: mψ(m)=(mx)f (x)dx+(xm)f (x)dx ) −∞m c -En déduire qu'il existe un unique réel (notém )solution de l'équation : 1 m  f(x)dx=1/ 2et tel que, pour tout réel m, on ait :ψ(m )≤ ψ(m).1 −∞ +∞ 2p 3°) Onnote, pour p entier strictement positif,ϕ(m)l'intégrale (xm) f(x)dx etψ(m) l'intégrale p p − ∞ +∞2p1 x(x)dx .m f − ∞ a -Montrer queϕ(m)etψpour tout réel m.(m) existent p p
1999