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I. S. F. A. _________
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION B Les deux problèmes sont indépendants. Calculatrice autorisée.
2000-2001 _________
Concours d'Entrée _______________
PROBLEME 1 : Systèmes Bonus-Malus Dans la plupart des pays où l’assurance automobile est obligatoire, existent des systèmes Bonus-Malus à classes. Ceux-ci permettent d’ajuster la cotisation que paie annuellement un assuré sur le risque d’accidents (responsables) qu’il présente. Ils s’appuient sur le nombre d’accidents antérieurs de cet assuré.  Plusprécisément à chaque renouvellement annuel de son contrat, un assuré est placé (pour l’année à venir) dans une nouvelle classe de cotisation (qui peut être la même). Celle-ci ne dépend que de la classe de l’année précédente et du nombre d’accidents qu’il a occasionnés au cours de cette même année.  Lesrègles de passage d’une classe à l’autre, la classe d’entrée dans le système pour les nouveaux contrats et les cotisations de chaque classe définissent ainsi un système Bonus-Malus. : 1, 2, 3 correspondant auxOn considère dans ce problème un système simplifié comportant 3 classes cotisations 50, 70, 100 unités monétaires.  Laclasse d’entrée dans le système est la classe 3. L’assuré bénéficie d’une réduction d’une classe pour chaque année sans accident, d’une pénalité d’une classe par accident. Ces règles conduisent au tableau suivant définissant le système Bonus-Malus. Classes après k accidents (dans l’année)  ClassesCotisations k=0k=1 k2 Entrée100 23 3 3  270 13 3  150 12 3
 Onconsidère un nouvel assuré entrant dans le système. On notepla probabilité qu’il aitkaccidents dans une k (n) anné0p1 ,pcelle nnées. e(kIN)avec<0<qu’il soit en classeiaprèsna(3i1,n0) i (0) (1)  1°)Donnerppuisppour 3i1 . i i (n)  2°)a) Pourn1 donner lesystème (S) des expressions desp(3i1)en fonction des i (n1) p(3j1)et depetp. j01 2000