ISFA 2000 2eme epreuve de mathematiques option b

Description

I. S. F. A. 2000-2001 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION B Les deux problèmes sont indépendants. Calculatrice autorisée. PROBLEME 1 : Systèmes Bonus-Malus Dans la plupart des pays où l’assurance automobile est obligatoire, existent des systèmes Bonus-Malus à classes. Ceux-ci permettent d’ajuster la cotisation que paie annuellement un assuré sur le risque d’accidents (responsables) qu’il présente. Ils s’appuient sur le nombre d’accidents antérieurs de cet assuré. Plus précisément à chaque renouvellement annuel de son contrat, un assuré est placé (pour l’année à venir) dans une nouvelle classe de cotisation (qui peut être la même). Celle-ci ne dépend que de la classe de l’année précédente et du nombre d’accidents qu’il a occasionnés au cours de cette même année. Les règles de passage d’une classe à l’autre, la classe d’entrée dans le système pour les nouveaux contrats et les cotisations de chaque classe définissent ainsi un système Bonus-Malus. On considère dans ce problème un système simplifié comportant 3 classes : 1, 2, 3 correspondant aux cotisations 50, 70, 100 unités monétaires. La classe d’entrée dans le système est la classe 3. L’assuré bénéficie d’une réduction d’une classe pour chaque année sans accident, d’une pénalité d’une classe par accident. Ces règles conduisent au tableau suivant définissant le système ...

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Extrait

I. S. F. A. _________

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION B Les deux problèmes sont indépendants. Calculatrice autorisée.

2000-2001 _________

Concours d'Entrée _______________

PROBLEME 1 : Systèmes Bonus-Malus Dans la plupart des pays où l’assurance automobile est obligatoire, existent des systèmes Bonus-Malus à classes. Ceux-ci permettent d’ajuster la cotisation que paie annuellement un assuré sur le risque d’accidents (responsables) qu’il présente. Ils s’appuient sur le nombre d’accidents antérieurs de cet assuré.  Plusprécisément à chaque renouvellement annuel de son contrat, un assuré est placé (pour l’année à venir) dans une nouvelle classe de cotisation (qui peut être la même). Celle-ci ne dépend que de la classe de l’année précédente et du nombre d’accidents qu’il a occasionnés au cours de cette même année.  Lesrègles de passage d’une classe à l’autre, la classe d’entrée dans le système pour les nouveaux contrats et les cotisations de chaque classe définissent ainsi un système Bonus-Malus. : 1, 2, 3 correspondant auxOn considère dans ce problème un système simplifié comportant 3 classes cotisations 50, 70, 100 unités monétaires.  Laclasse d’entrée dans le système est la classe 3. L’assuré bénéficie d’une réduction d’une classe pour chaque année sans accident, d’une pénalité d’une classe par accident. Ces règles conduisent au tableau suivant définissant le système Bonus-Malus. Classes après k accidents (dans l’année)  ClassesCotisations k=0k=1 k ≥2 Entrée⇒ 100 23 3 3  270 13 3  150 12 3

 Onconsidère un nouvel assuré entrant dans le système. On notepla probabilité qu’il aitkaccidents dans une k (n) anné 0p1 ,pcelle nnées. e (k∈IN) avec < 0 <qu’il soit en classe i après n a (3≥i≥1,n≥0) i (0) (1)  1°)Donner p puis p pour 3≥ i ≥1 . i i (n)  2°)a) Pour n ≥1 donner lesystème ( S ) des expressions des p (3≥i≥1) en fonction des i (n−1) p (3≥j≥1) et de p et p . j 0 1 2000