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I. S. F. A. _________
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________
Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. EXERCICE1 1°- Montrer que l’intégraleln (1+2)dxest convergente. 0 x 2°- Montrer que cette intégrale est égale àπ.
2002-2003 _________
Concours d'Entrée _______________
PROBLÈMEA SoitPun polynômenon constant, à coefficients réels positifs dont la somme est égale à 1. PourPde degrékon notera le polynômePpar : k k i P(x)=p xavec pour toutivariant de 0 à k :p0 etp=1 . i ii i=0i=0 1°- Montrer que la fonction polynômePréalise une bijection du segment [0,1] sur le segment [p0,1] . 2°- On noteEl’ensemble des solutions de l’équationP(x)=xappartenant au segment [0,1] . (i) Montrerque le réel 1 appartient àE.(ii) Montrerque, siP’(1) est strictement supérieur à 1,Eest égal à deux réels distinctsλet 1. Montrer que dans le cas contraireEest soit réduit au singleton {1}, soit égal au segment [0,1]. Donner le (ou les) polynômes pour lequel (lesquels)Eest égal au segment [0,1]. ième 3°- Pournentier supérieur ou égal à 1 on notePnle polynômenitéré du polynômeP:  (P1(x)=P(x);P2(x)=P(P1(x) ; P3(x)=P(P2(x) ; etc) (i) PourPpolynômespolynôme du premier degré, déterminer la suite desnP . Pourxréel de [0,1] n donner alors la limite de la suitenP(x) n (ii)Pest ici de degrékstrictement supérieur à 1. On noteula suite définie parnu=P(0) . n n Montrer que la suiteuest croissante et majorée. En déduire sa convergence. Donner suivant le signe deP’(1)-1 la limite de la suiteu. (iii) Etudier,pourxfixé de ]0,1], la limite de la suitenP(x) . (On discutera en fonction de la valeur de n P’(1) et, pourP’(1) strictement supérieur à 1, de la position dexpar rapport àλ.)
2002