Cet ouvrage fait partie de la bibliothèque YouScribe
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le lire en ligne
En savoir plus

ISFA 2003 2eme epreuve de mathematiques option a

3 pages
I. S. F. A. 2003-2004 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION A Les calculatrices sont interdites. EXERCICE 1°) Quelle est la période de la fonction f:(xf→=x)sinx ? Développer f en série de Fourier. En quels points f est-elle égale à la somme de sa série de Fourier ? 2°) Soit ϕ une fonction continûment dérivable sur un intervalle compact ab, . [ ]b Montrer que : lim ϕα(tt) cos( ) dt=0 ∫aα→+ ∞ puis en utilisant le résultat de la question 1 conclure que : bb2lim ϕλ(tt) sindt=ϕ(t)d . ∫∫πaaλ→+ ∞PROBLEME ∞ ∞On note C , le espace vectoriel des fonctions de classe C de dans . ()- I - ∞ Pour f ∈ C , et λ ∈ on considère la fonction ()DI− λ f définie pour x ∈ par ()′(DI−λ)f()x =fx −λf()x . ()∗ m ∞Puis pour chaque m ∈ DI−λ l’opérateur linéaire sur C (,) défini par ()DI−λoo()DI−λLo(DI−λ)m fois. ∗ ∞1°) Montrer par récurrence : pour tout m ∈ , tout f ∈ C (,) et tout x de : mxλ−mλx m mm()(DI−λ)f()x =eDf()xe où D est l’opérateur de dérivation d’ordre m : Dg()x =g ()x. ()()∗ ∞ m2°) Montrer que pour tout λ ∈ et tout m ∈ : f ∈ C (,) appartient au noyau de ()DI−λ si et seulement λxsi f est définie par : fx() =P()xe où P est un polynôme arbitraire, à coefficients complexes, de degré inférieur ou égal à m-1. ∗3°) Pour m ∈ et λ∈ on note : mx,λλEf=→:(fx)=P(x)eoù P est un polynôme, à coefficients complexes, de degré inférieur ou égal {à m . ...
Voir plus Voir moins
I. S. F. A.  _________
  
1°)
 
2°)
 
 
 
1 ) °
2°)
3°)
 
2003
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES  _________________________________________ Durée : 4 heures
OPTION A Les calculatrices sont interdites.
EXERCICE
Quelle est la période de la fonction :xf(x)=sinx?
2003-2004  _________
Concours d'Entrée  _______________
Développer fen série de Fourier. En quels pointsfest-elle égale à la somme de sa série de Fourier ?
Soitϕune fonction continûment dérivable sur un intervalle compact[a,b. Montrer que :αlim+abϕ(t) cos(αt)dt=0
puis en utilisant le résultat de la question 1 conclure que :
λlim+baϕ(t) sinλt dt =2πbaϕ(t)dt.
PROBLEME
On noteC(,)leespace vectoriel des fonctions de classeCdedans.
- I -  
PourfC(,)etλ ∈on considère la fonction (D− λI)fdéfinie pourxpar ((D− λI)f)(x)=f(x)− λf(x) . Puis pour chaquem (D− λI)m linéaire sur l’opérateurC(,)
(D− λI)o(D− λI)oLo(D− λI)mfois.
Montrer par récurrence : pour toutm, toutfC(,) et toutxde:
défini
(D− λI)mf(x)=eλxDmf(x)e−λxDmest l’opérateur de dérivation d’ordrem:Dmg(x)=g(m)(x) .
par
Montrer que pour toutλ ∈et toutm:fC(, () appartient au noyau deD− λI)msi et seulement
sifest définie par :f(x)=P(x)eλPest un polynôme arbitraire, à coefficients complexes, de degré inférieur
ou égal àm-1. Pourmetλ ∈on note : Em,λ=f:f(x)=P(x)eλxPest un polynôme, à coefficients complexes, de degré inférieur ou égal
àm.
Le résultat de la question précédente s’écrit donc :ker(D− λI)m=Em1,λ.
Un pour Un
Permettre à tous d'accéder à la lecture
Pour chaque accès à la bibliothèque, YouScribe donne un accès à une personne dans le besoin