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I. S. F. A.  _________
  
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2003
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES  _________________________________________ Durée : 4 heures
OPTION A Les calculatrices sont interdites.
EXERCICE
Quelle est la période de la fonction :xf(x)=sinx?
2003-2004  _________
Concours d'Entrée  _______________
Développer fen série de Fourier. En quels pointsfest-elle égale à la somme de sa série de Fourier ?
Soitϕune fonction continûment dérivable sur un intervalle compact[a,b. Montrer que :αlim+abϕ(t) cos(αt)dt=0
puis en utilisant le résultat de la question 1 conclure que :
λlim+baϕ(t) sinλt dt =2πbaϕ(t)dt.
PROBLEME
On noteC(,)leespace vectoriel des fonctions de classeCdedans.
- I -  
PourfC(,)etλ ∈on considère la fonction (D− λI)fdéfinie pourxpar ((D− λI)f)(x)=f(x)− λf(x) . Puis pour chaquem (D− λI)m linéaire sur l’opérateurC(,)
(D− λI)o(D− λI)oLo(D− λI)mfois.
Montrer par récurrence : pour toutm, toutfC(,) et toutxde:
défini
(D− λI)mf(x)=eλxDmf(x)e−λxDmest l’opérateur de dérivation d’ordrem:Dmg(x)=g(m)(x) .
par
Montrer que pour toutλ ∈et toutm:fC(, () appartient au noyau deD− λI)msi et seulement
sifest définie par :f(x)=P(x)eλPest un polynôme arbitraire, à coefficients complexes, de degré inférieur
ou égal àm-1. Pourmetλ ∈on note : Em,λ=f:f(x)=P(x)eλxPest un polynôme, à coefficients complexes, de degré inférieur ou égal
àm.
Le résultat de la question précédente s’écrit donc :ker(D− λI)m=Em1,λ.
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