ISFA 2004 2eme epreuve de mathematiques option a

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# I. S. F. A. 2004-2005 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrice interdite OPTION A EXERCICE : 2 22()−+1tx x 12⎛⎞ e−t1. Montrer que la fonction Gx()=+e dt dt est constante sur R. Que vaut cette ⎜⎟ 2∫∫⎝⎠ 0 0 + tconstante ? +∞2−tEn déduire la valeur de l’intégrale : edt, utile pour la suite. ∫ 02b22 +∞−−au .2u2. Pour ab>0 e t ≥ 0 on pose : I()ab,.= e du. ∫ 0Au moyen de 1., calculer Ia(),0 . Justifier l’existence de l’intégrale Ia( ,b ) pour a > 0 et b ≥ 0 . 13. Etablir : Ia(),b = I()1,ab, puis pour b > 0 : a∂I()ab,2=−bI(b,a). ∂ber * +4. Quelle équation différentielle du 1 ordre est vérifiée par la fonction bI→ ()a, sb ur R ? En déduire la valeur de I()ab, . PROBLÈME : On utilise les conventions usuelles d’écriture du calcul matriciel. ⎡ x ⎤1⎢ ⎥xn 2⎢ ⎥Un vecteur x de R est spontanément écrit en colonne x = . Si on veut l’écrire en ligne, on écrit ⎢ ⎥⎢ ⎥x⎢ ⎥⎣ n ⎦T nT Tx = xx,, …,x . De sorte que si y est un autre vecteur de R : xyy= x désigne le produit scalaire usuel [ ]12 nde x par y. nPour un vecteur fixe gde , R et B une matrice symétrique fixe nnx , on définit la fonction nm de RR dans par : 1TTmp()=+gp pBp . 2T()Le but du problème est l’étude du minimum (éventuel) de m sur les boules pp= p≤≤ααoù 0 ≤+∞. TI - 1. Montrer que si g appartient à Im (B) et que B est semi définie positive ...

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• Publié par: shura
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• Langue: Français

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