ISFA 2005 1ere epreuve de mathematiques

Description

I. S. F. A. 2005-2006 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrice interdite PROBLEME I ++ +Soit C (R ) l’ensemble des fonctions définies sur R , continues, à valeurs réelles. Pour f ∈C(R ) on note 0 0F la primitive de f qui s’annule en 0. +∞ F(t)+Soit E le sous-ensemble des fonctions f de C (R ) telles que l’intégrale dt soit convergente. 0 ∫ 2 0 (1+t)+∞ F(t)Pour f ∈ E on note I(f) l’intégrale dt . ∫ 2 0 +(1 t)A- Etude de quelques propriétés de l’application f → I( f ) : 1°- Déterminer les fonctions f de E positives et telles que I(f)=0. +2°- Soit f une fonction de C (R ) positive. 0+∞ f(t)Montrer que l’intégrale dt est convergente si et seulement si f ∈ E ∫ 1t+ 0Indication : On pourra montrer et utiliser la relation : A AF(t) F( A ) f ( t ) Pour A >0 dt =− + dt . ∫∫2 1A++1t 0 0(1+t)3°- Donner un exemple de fonction f (nécessairement de signe non constant) appartenant à E et telle +∞ f(t)que l’intégrale dt diverge. ∫ 1t+ 04°- Pour f ∈ E montrer, en justifiant l’existence de l’intégrale, la relation : +∞ F(t)+F(1/t)1 I(f)= dt. ∫ 22 0 (1+t)B- L’objet de cette partie est le calcul de l’intégrale I(f) pour une fonction f particulière Préliminaire : 1 1ln( t ) −+ln(1 t )On note J et K les intégrales dt et dt . ∫ ∫1t+ t 0 0a°- Montrer que les intégrales J et K convergent. b°- Montrer l’égalité des ...

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• Langue: Français

Extrait

2005

I.

S.

F.

A.

2005-2006

_________

_________

Concours d'Entrée

_______________

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

_________________________________________

Durée : 4 heures

Calculatrice interdite

PROBLEME I

Soit

C

0

(R

+

)

l’ensemble des fonctions

définies sur

R

+

, continues, à valeurs réelles. Pour

0

f

C

(

R

)

+

∈

on note

F

la primitive de

f

qui s’annule en 0.

Soit

E

le sous-ensemble des fonctions

f

de

C

0

(R

+

)

telles que l’intégrale

+

2

0

F(t)

dt

(1 t )

∞

+

∫

soit convergente.

Pour

f

E

∈

on note

I

(

f

)

l’intégrale

+

2

0

F(t)

dt

(1 t )

∞

+

∫

.

A-

Etude de quelques propriétés de l’application

f

I( f )

→

:

1°-

Déterminer les fonctions

f

de E positives et telles que

I(f)=0

.

2°-

Soit

f

une fonction de

C

0

(R

+

)

positive.

Montrer que l’intégrale

+

0

f (t )

dt

1

t

∞

+

∫

est convergente si et seulement si

f

E

∈

Indication : On pourra montrer et utiliser la relation :

Pour A >0

A

A

2

0

0

F(t)

F( A)

f (t )

dt

dt

1

A

1

t

(1 t )

=

−

+

+

+

+

∫

∫

.

3°-

Donner un exemple de fonction

f

(nécessairement de signe non constant) appartenant à

E

et telle

que l’intégrale

+

0

f (t )

dt

1

t

∞

+

∫

diverge.

4°-

Pour

f

E

∈

montrer, en justifiant l’existence de l’intégrale, la relation :

2

0

F(t)+F(1/t)

1

I

(

f

)

d

t

2

(1+t)

+∞

=

∫

.

B-

L’objet de cette partie est le calcul de l’intégrale

I(f)

pour une fonction

f

particulière

Préliminaire :

On note

J

et

K

les intégrales

1

0

ln(t )

dt

1

t

+

∫

et

1

0

ln(1 t )

dt

t

−

+

∫

.

a°-

Montrer que les intégrales

J

et

K

convergent.

b°-

Montrer l’égalité des intégrales

J

et

K.

c°-

Montrer que la valeur commune à

J

et à

K

est égale à

2

/

1

2

π

−

.

Indication :

On pourra utiliser la relation :

n

1

n

1

(

u

)

)

1 u

... ( u )

1

u

+

−

−

−

+

+

−

=

+

. On rappelle

également que la série de terme général

n

2

1

v

;

n

1

n

=

≥

a pour somme

2

/

6

π

.