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Introduction et notations
Lebutdeceprobl`emeestdanalyserquelquespropri´et´esdesche´masnume´riquesutilis´es pourladiscre´tisationdesyste`meshamiltoniens.Danstoutelasuite,onnoteRle corps des re´elsetMn(Rdesepscal)ellesr´eeicesmatrelliatedsee´rracn(avecnun entier strictement T positif). SiAMn(R), on noteAeuqirttdesceri´eymesitnapssoe´.enUmetasamatricetr T T n si elle satisfaitA=Atitasiafsrtqimye´leeleuisntisetaA=AiD.ˆeem,smeyR T est un vecteur colonne ou ligne, on noteyratenoOne.s´opsnartruetcevely1, . . . , ynles composantes d’un tel vecteur. n m p On dit qu’une application d’un ouvertUdeRdansRest de classeCsi elle estp 1 foisdi´erentiableavecdesde´riv´eessuccessivescontinuessurU. SiHest une fonctionC n deRdansR, on noterH(y) le vecteur colonne de composantes ∂H (rH(y))i= (y),pouri= 1, . . . n. ∂yi 2 2 Demeˆme,siHestC, on noterH(y) sa matrice hessienne de composantes 2 ∂ H 2 (rH(y))ij= (y),pouri, j= 1, . . . n. ∂yi∂yj
n m1 Sig:RRest une applicationC, pournetmtneisrodnne´,snoedteosne n0 (gi(y))i=1,∙∙∙,mle vecteur colonne correspondant, pouryR, etg(y) sa matrice ja-cobienne`amlignes etncolonnes, de composantes 0∂gi (g(y))ij= (y), i= 1, . . . , m,etj= 1, . . . , n. ∂yj 0pT m Remarquonsquedanslecasou`m= 1, on ag(y) =rg(y) . Sih:RR,z7→h(z), 1 est une applicationCe´rcrilematairecjacobiennedesrolatuepno,hgsous la forme 0 0 0n (hg) (y) =h(g(y))g(y), yR,
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