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Le but de ce probleme est d'analyser quelques proprietes de schemas numeriques utilises pour la discretisation de systemes hamiltoniens Dans toute la suite on note R le corps des reels et Mn R l'espace des matrices reelles carrees de taille n avec n un entier strictement positif Si A Mn R on note AT sa matrice transposee Une matrice est dite symetrique si elle satisfait AT A et antisymetrique si elle satisfait AT A De meme si y Rn

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Introduction et notations Le but de ce probleme est d'analyser quelques proprietes de schemas numeriques utilises pour la discretisation de systemes hamiltoniens. Dans toute la suite, on note R le corps des reels et Mn(R) l'espace des matrices reelles carrees de taille n (avec n un entier strictement positif). Si A ? Mn(R), on note AT sa matrice transposee. Une matrice est dite symetrique si elle satisfait AT = A et antisymetrique si elle satisfait AT = ?A. De meme, si y ? Rn est un vecteur colonne ou ligne, on note yT le vecteur transpose. On notera y1, . . . , yn les composantes d'un tel vecteur. On dit qu'une application d'un ouvert U de Rn dans Rm est de classe Cp si elle est p fois differentiable avec des derivees successives continues sur U . Si H est une fonction C1 de Rn dans R, on note ?H(y) le vecteur colonne de composantes (?H(y))i = ∂H ∂yi (y), pour i = 1, . . . n. De meme, si H est C2, on note ?2H(y) sa matrice hessienne de composantes (?2H(y))ij = ∂2H ∂yi∂yj (y), pour i, j = 1, . . . n.

  • application c1

  • r2d

  • classe cp

  • espace des matrices reelles

  • methode de stormer-verlet definie

  • composante


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Introduction et notations
Lebutdeceprobl`emeestdanalyserquelquespropri´et´esdesche´masnume´riquesutilis´es pourladiscre´tisationdesyste`meshamiltoniens.Danstoutelasuite,onnoteRle corps des re´elsetMn(Rdesepscal)ellesr´eeicesmatrelliatedsee´rracn(avecnun entier strictement T positif). SiAMn(R), on noteAeuqirttdesceri´eymesitnapssoe´.enUmetasamatricetr T T n si elle satisfaitA=Atitasiafsrtqimye´leeleuisntisetaA=AiD.ˆeem,smeyR T est un vecteur colonne ou ligne, on noteyratenoOne.s´opsnartruetcevely1, . . . , ynles composantes d’un tel vecteur. n m p On dit qu’une application d’un ouvertUdeRdansRest de classeCsi elle estp 1 foisdi´erentiableavecdesde´riv´eessuccessivescontinuessurU. SiHest une fonctionC n deRdansR, on noterH(y) le vecteur colonne de composantes ∂H (rH(y))i= (y),pouri= 1, . . . n. ∂yi 2 2 Demeˆme,siHestC, on noterH(y) sa matrice hessienne de composantes 2 ∂ H 2 (rH(y))ij= (y),pouri, j= 1, . . . n. ∂yi∂yj
n m1 Sig:RRest une applicationC, pournetmtneisrodnne´,snoedteosne n0 (gi(y))i=1,∙∙∙,mle vecteur colonne correspondant, pouryR, etg(y) sa matrice ja-cobienne`amlignes etncolonnes, de composantes 0∂gi (g(y))ij= (y), i= 1, . . . , m,etj= 1, . . . , n. ∂yj 0pT m Remarquonsquedanslecasou`m= 1, on ag(y) =rg(y) . Sih:RR,z7→h(z), 1 est une applicationCe´rcrilematairecjacobiennedesrolatuepno,hgsous la forme 0 0 0n (hg) (y) =h(g(y))g(y), yR,
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