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LM100 Méthodes de calcul et statistiques 2004-2005 Examen du 6 septembre 2005 Machine à calculer non graphique et non programmable autorisée. Tout document interdit. Les téléphones portables doivent être éteints. Les exercices sont indépendants. Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté. Rédigez les deux parties sur deux copies séparées Mathématiques I.Racines sixièmes complexes de 1.p On sait que les six nombres complexes de la forme(exp(iπ/ 3))=exp(ipπ/ 3), p=0,1, 2..., 5, sont les six racines sixièmes de 1. p  On pose=exp(iπ/ 3)etω=exp(ipπ/ 3),p=0,1, 2..., 5. 1. Dansle plan complexe placer les six racines sixièmes de 1. 2. Pourtoutes les combinaisons de signe 2   ±1±i3 a. Calculer;   2   6   ±1±i3 b. Puisvérifier que=1;   2   3. Enutilisant le schéma demandé dans la question 1, a. identifierchacune des quatre valeurs obtenues en 2aà l'un des nombres 2 3 4 5 1,ω,ω,ω,ω,ω. ±1±i3iθ b. Onpose=ρecalculer ;ρ etθ pourtoutes les combinaisons de 2 signe. II.On sintéresse à la croissance des bactéries Bacillus dendroïdes. On appelleyla surface de 2 la colonie en cmetxson âge en jours. On suppose queyest une fonction dex. On suppose que le taux daccroissement de la surface de la colonie s'écrit 1dy y' = =rky (1) y dxy rest un terme strictement positif constant qui traduit laccroissement par division cellulaire et où le terme négatif, -ky, proportionnel à leffectif des bactéries, traduit le rôle inhibiteur de ces dernières (kest une constante strictement positive). r/k 1- Montrerque la fonctiony(x)=est solution de (1). 1+exp(rx) -1 2- Etudierla variation de cette fonction suivant la valeur dexsachant queret= 2 jour  -1-2 kQuelle est la limite decm .= 0.4 joury(x) quandx? Tracer lavers linfini tend courbe représentative dey(x). 3- Enlabsence dinhibition mutuelle des bactéries,k =0. On appelle dans ce casY la 1dY surface de la colonie. Elle satisfait l'équation(1) simplifiée=rque l'on peut Y dx écrire aussi : dY =rdx (2)