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LM100 Méthodes de calculs et Statistiques  2007-2008Examen du 17 juin 2008 (durée 2 heures) Epreuve SANS document et SANS calculatrice Les téléphones portables doivent être éteints. Les exercices sont indépendants. Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté.I. Mathématiques I.1 Matrice " "1 2%"4 2%r3%A=B=u= Soient les matrices$'et$'et le vecteur$'. 5 32 11 #&#&#&r I.1.1Calculer le produit matricielAB; appliquer la matrice A au vecteuru. I.1.2Etablir si les matrices A et B sont inversibles. Le cas échéant, calculer la matrice inverse correspondante. I.2 Système linéaire On considère le système suivant : #x+y"z=1 %$4x"3y+z=2%&3x"4y+2z=1 1.2.1Ecrire la matrice de ce système. Calculer son déterminant. I.2.2 Lesystème admet-il zéro, une ou plusieurs solutions? Le cas échéant, calculer la(les) solution(s). I.3 Nombres complexes Soit le nombre complexez=2"2i. I.3.1le module et largument de Déterminerzexprimer puiszforme sous exponentielle. Représenterzdans le plan complexe. 2 I.3.2Calculer le nombrezet le reporter dans le plan complexe. 2 2 z=z=z I.3.3Trouver les nombres complexesz1etz2tels que1 2, puis les figurer dans le plan complexe. 1 / 4 (Pour les représentations dans le plan complexe on rappelle8!2.8 et(8)!1.7) I.4 Equation différentielleSoit léquation différentielle dordre deux suivante : 2 d ydy "3+2y=02 dt dt I.4.1Déterminer la solution générale de cette équation. I.4.2 Calculeralors la solution vérifiant les conditions initiales,y(t=0)=2 et dy (t=0)=0dt I.4.3Rappeler lexpression du développement de Taylor au voisinage detoà lordrendune fonctionf(t)définie etnfois dérivable surR.I.4.4En déduire le développement limité au voisinage de zéro (to=0) à lordre 2 de la solution déterminée au I.4.2.