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LM100 Méthodes de calculs et Statistiques  2007-2008Examen du 28 mai 2008 (durée 2 heures) Epreuve SANS document et SANS calculatrice Les téléphones portables doivent être éteints. Les exercices sont indépendants. Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté. I. AnalyseI.1 Etude de fonction La fonctionU(x)ci-dessous permet de modéliser le déplacement dune masse M le long dun axe (Ox): 2 #2&a 2 U(x)=C% +x"a(%4($ ' C eta sontdes constantes réelles strictement positives dépendant de la nature de cette masse. I.1.1Etudier cette fonctionU(x).I.1.2Préciser ses extrema, ses limites. I.1.3Donner lallure de la fonctionU(x). I.2 Calculer les intégrales et primitives suivantes : 1 x "0 I.2.1Calculer lintégrale dexe dx(on utilisera la méthode de lintégration par parties). 2 x # I.2.2 Calculerpourx"±1de, la primitivedx (onutilisera la méthode du 2 1"x changement de variable en utilisant les propriétés particulières des fonctions trigonométriques cos(x)etsin(x)), puis donner son expression en fonction de x. I.3 Différentielles I.3.1Donner lexpression de la différentielle totale dune fonctionF(x,y).I.3.2Soit lexpression différentielle suivante : ydx#xdy "Q(x,y)=2 (x#y)