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LM100 Méthodes de calculs et Statistiques  2005-2006 Examen du 5 septembre 2006 (durée 2 heures) Epreuve SANS document et SANS calculatrice Les téléphones portables doivent être éteints. Les exercices sont indépendants. Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté.I. Fonction de plusieurs variables Soit f la fonction, dépendant de la positionxet du tempstdéfinie par avec , etkdes constantes positives.
I.1.aCalculer la dérivée partielle
ainsi que la dérivée seconde
defsuivantx.
I.1.bet suivantCalculer, de même, les dérivées partiellest. I.1.cEn déduire la différentielle totale de la fonctionf. I.2Déterminer la relation existant entre les quantitésetkpour que la fonctionfvérifie pour toutxet toutt, la relation où estune constante dont on déterminera les caractéristiques en fonction deetk. II. Etude de fonction On considère la fonctionh, à valeurs réelles, définie par II.1la formule de Taylor à lordre Rappelernvoisinage de auxo, pour une fonction quelconquef(x),nfois dérivable. II.2Calculer alors le développement limité deh(x) à lordre 1 au voisinage dexo=2. II.3.aOn définit alors une autre fonctiong(x)de la forme
Déterminer son intervalle de définition. Cette fonction est-elle paire ou impaire ? Pourquoi ?