Exercice 1 t Pour toute matriceM´el´tdeemenM2(R),on noteMtrceriat´eosspanedelmaM,e´daledeinfi a ba c t fac¸onsuivante:siM= alorsM=. c db d 1 00 10 00 0 On poseE1=, E2=, E3= etE4= 0 00 01 00 1 On rappelle queB= (E1, E2, E3, E4) est une base deM2(R). t On noteϕacilnoit`iuquotatematricelpp’aMdeM2(R) associeϕ(M) =M+M . 1. a)Montrer queϕest un endomorphisme deM2(R). b) Ecrirela matriceAdeϕdansB. c)End´eduirequeϕest diagonalisable et non bijectif. 2∗n n−1 2. calculerAtourtou,peuqeriude´dnetendeN:A= 2A 3. a)Monterr que Imϕ(= VectE1, E2+E3, E4),uis´pilqrtebaIm(meuidϕ) = 3. b)End´eduireladimensiondekerϕpuisd´etermineurenabesedekrϕ. c) Etablirque Imϕesseltesuocapsorpelava´i`esscorpaepre2rproaleu d)Donner,pourre´sumer,lesvaleurspropresdeϕainsi qu’une base de chacun des sous-espacespropresassocie´s.
Exercice 2 On admet que siZ1etZ2a`edrisee´d,sntiablevarieatosal´pseeecaxuedtnosfin´essieleuremmˆ probabilis´e,alorsleurcovariance,sielleexiste,estde´finiepar: Cov (Z1, Z2) =E(Z1Z2)−E(Z1)E(Z2)
Onadmete´galementquesiZ1etZ2e.eestnullvoraaicnrolsuecrntdaalesd´ineneptnos Onconsid`eredeuxvariablesal´eatoiresr´eellesXetU´e(Ωilisobabceprd´niefiemeˆapseussemelr,A,P), ind´ependantes,Xsuivant la loi normaleN(0,1) etUusvinaltlaioidscr`eteuniformesru{−1,1}. On poseY=U Xet on admet queYenavseutellairbaoire´eatnsit`adenfie´d,e´uaelleeiurisss l’espaceprobabilis´e(Ω,A,P). 1.a)Enutilisantlaformuledesprobabilite´stotales,montrerque: