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Macroeconomie Financiere QCM

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Macroeconomie Financiere QCM

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Ajouté le : 21 juillet 2011
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EDHEC 2007 ´ OPTION : ECONOMIQUE ´ MATHEMATIQUES
Exercice 1 t Pour toute matriceM´el´tdeemenM2(R),on noteMtrceriat´eosspanedelmaM,e´daledein   a ba c t fac¸onsuivante:siM= alorsM=. c db d      1 00 10 00 0 On poseE1=, E2=, E3= etE4= 0 00 01 00 1 On rappelle queB= (E1, E2, E3, E4) est une base deM2(R). t On noteϕacilnoit`iuquotatematricelppaMdeM2(R) associeϕ(M) =M+M . 1. a)Montrer queϕest un endomorphisme deM2(R). b) Ecrirela matriceAdeϕdansB. c)End´eduirequeϕest diagonalisable et non bijectif. 2n n1 2. calculerAtourtou,peuqeriude´dnetendeN:A= 2A 3. a)Monterr que Imϕ(= VectE1, E2+E3, E4),uis´pilqrtebaIm(meuidϕ) = 3. b)End´eduireladimensiondekerϕpuisd´etermineurenabesedekrϕ. c) Etablirque Imϕesseltesuocapsorpelava´i`esscorpaepre2rproaleu d)Donner,pourre´sumer,lesvaleurspropresdeϕainsi qu’une base de chacun des sous-espacespropresassocie´s.
Exercice 2 On admet que siZ1etZ2a`edrisee´d,sntiablevarieatosal´pseeecaxuedtnosn´essieleuremmˆ probabilis´e,alorsleurcovariance,sielleexiste,estde´niepar: Cov (Z1, Z2) =E(Z1Z2)E(Z1)E(Z2)
Onadmete´galementquesiZ1etZ2e.eestnullvoraaicnrolsuecrntdaalesd´ineneptnos Onconsid`eredeuxvariablesal´eatoiresr´eellesXetU´e(Ωilisobabceprd´nieemeˆapseussemelr,A,P), ind´ependantes,Xsuivant la loi normaleN(0,1) etUusvinaltlaioidscr`eteuniformesru{−1,1}. On poseY=U Xet on admet queYenavseutellairbaoire´eatnsit`adene´d,e´uaelleeiurisss lespaceprobabilis´e(Ω,A,P). 1.a)Enutilisantlaformuledesprobabilite´stotales,montrerque:
P (Yx([) = PU= 1][Xx]) + P ([U=1][X≥ −x])
b)Ende´duirequeYueiqsltiueˆmaolemX. 2.a)Calculerlesp´erancedeUpuis montrer queE(XY) = 0 b)Ende´duirequeCov(X, Y) = 0. Rx2 +2 21 3. a)Rappeler la valeur deE(Xuetierenqd´e)deux e= 2π 2 0 2
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