Cet ouvrage et des milliers d'autres font partie de la bibliothèque YouScribe
Obtenez un accès à la bibliothèque pour les lire en ligne
En savoir plus

Partagez cette publication

MAT242 2011-2012
CC2
Mardi, 24 Avril 2012, 9h45-11h15
Documents,calculatricesett´el´ephonesportablesinterdits. Autour du cours Soitf:RCune fonction 2πp-e´irodique. 1.Donnerlade´nitiondescoecientsdeFourieran(f) etbn(f,)ianitid´euelansiqedeire´saledno Fourier def. 2.Enoncerleth´eor`emedeParseval. X n 3. SoitS(z) =λnzecodeonayncgeernve´ireetn`iredereunesR >0, avec (λn)nune suite de n0 S(re) +S(re) r´eelsnu´rnex.Oeelrtel que 0r < R, et on posef(θ) =. 2 X n a.Ve´rierquefest 2π-p´erieuqteeuqidof(θ) =λnrcos(). n0 b.Justierquelas´eried´enissantfconverge normalement surR. c. Quels sont les coefficients de Fourier def? Exercice 1 2 n x e Pour toutntincon1o,dne´ntialofun: [0,+[R, x7→. 3/2 n X 1.Etudierlaconvergencenormale,uniformeetsimpledelas´eriedefonctionsunsur [0,+[. n1 X 2. On noteS(x) =un(x) pour toutx0. Montrer queSest continue sur [0,+[. n1 X 0 3.Etudierlaconvergencenormaledelase´riedefonctionsusur [0,+[, puis sur tout invervalle n n1 de la forme [a,+[, aveca >0. 0 4. Montrer queSsuleabiverd´ste]r0,+[ et exprimerSdunormeousfs.nsnofeoitce´sedeir X 0 5.Montrerquelase´riedefonctionsuifnoercmo´nevmergepasunnestru0],+[ (on pourra n n1 X 2 0 −(n+1)x d´emontrerque|u(x)| ≥n+ 1epour toutx >0) n kn+1 Exercice 2 X n 1.D´eterminerlerayondeconvergencedelas´erieenti`ereanxdans les cas suivants : n0 (2n)!n2 n an= ;an= () ;an=`n(1 + 1/n). (n+ 1)!n!n+ 1 X 2n 2.Calculerlerayondeconvergenceetlasommedelas´erieentie`re(n+ 3n)x. n0 21 x 3.D´evelopperlafonctionf:x7→eisiovuaere`itneeri´ense+denagex= 0. 2 1 +x
1