Mathématiques 1 2003 Classe Prepa PSI Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI)

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Concours du Supérieur Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI). Sujet de Mathématiques 1 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1 2003 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 27 février 2007
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• Langue: Français

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SESSION 2003PSIM105 EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE PSI ______________________ MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. **** N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. **** Dans tout ce problème, on désigne par µ une application continue 2π  périodique deRdansRet on considère l’équation différentielle : ( E ) y ′′ + y=µ ( t ) µ On désigne parsurR ( E )  qui vérifie en outre les relations ϕ ( 0 ) =ϕ ′ 0 ) =0 . ϕ µ la solutionde µ µ µ Pour x∈R , on note : x x ( ) =µ ( ) =µ G µ x tcost dt et H µ ( x ) ( t ) sint dt ∫ 0 ∫ 0 Dans la partie I, on étudie quelques propriétés de la fonction µ . Dansla partie II et la partie III, on étudie un exemple explicite. PARTIE I On désigne parF µ  la fonction définie surR parF µ x ) = ( sinx ) G µ x ) − ( cosx ) H µ ( x ) . Tournez la page S.V.P.

 2 Pour simplifier les notations, on écriraF, G, H,ϕ pourdésigner les fonctions ϕ . F,G,H, µ µµ µ I.1 Justifier la dérivabilité deG,Hdonc etF. Préciser F ( 0 )  et F ′ ( 0 ) . 2 I.2que MontrerF est de classe C surR et exprimer F ′′ x ) +F x )  en fonction de µ ( x ) . I.3l’affirmation JustifierF=ϕ. I.4 Etudedu caractère 2  périodique deϕ. I.4.1Calculer la dérivée deG ( x+2π ) −G ( x )  etH x+2π ) −H ( x ) . I.4.2Exprimer G ( x+2 ) −G ( x )  en fonction de G ( 2π )  et H ( x+2 ) −H ( x )  en fonction de H2π ) . I.4.3  Exprimer ϕ ( x+2 ) −ϕ ( x ) en fonction de sinx, cosx,G ( 2π ) ,H ( 2π ) . I.4.4quelle condition nécessaire et suffisante portant sur AG ( 2π ) etH ( 2π )  la fonction ϕ  estelle 2  périodique ?  I.4.5 estelleLa fonction 2  périodique lorsque µt ) =sint lorsque? (resp. µ ( t ) =cost?)  I.4.6La fonction ϕ bornée lorsque estelle µ ( t ) =sint lorsque? (resp. µ ( t ) =cost ?)  I.4.7Montrer que la fonction ϕ  est 2  périodique lorsque µ ( t ) =sint .  I.4.8Les fonctions ϕ , ′ , etϕ ′  sontelles bornées lorsque µ ( t ) =sint ? Dans toute la suite du problème, on suppose que µ ( t ) =sint . PARTIE II −t Calcul deeϕ ( t ) dt ∫ R+ −t II.1 Justifier l’intégrabilité sur R +  dela fonction t!esint . ( n+1 ) π −t II.2 Pour n∈N , on note v=esint dt . ∫ nπ n II.2.1 Calculerv. 0  2 

 3 II.2.2  Montrerqu’il existe un nombre réelρtel que (quel’on explicitera) n  pourtout n∈N , onaitv=ρv. n0 +∞ ∑ ∑ II.2.3 déduire la convergence de la série En v  etexpliciter sa sommev. nn n≥0 n=0 −t II.2.4déduire la valeur de l’intégrale En esint dt . ∫ R+ II.3 II.3.1 des résultats obtenus dans la partie I (en particulier de Déduire I.4.8 ) que les −t−t−t ϕ ( ) ϕ ′ ( ) ϕ ′′ ) fonctionst!e t,t!e t ett!e tsur sont intégrables R + . −t −t II.3.2Etablir une relation entree µ ( t ) dt eteϕ ( t ) dt. ∫ R+ ∫ R+ −t En déduire eϕ ( t ) dt . ∫ R+ PARTIE III Développement de Fourier des fonctionsµ. et Sif est une application continue 2  périodique de R dans R, on désigne para ( f )  etb f ) n n les coefficients de Fourier réels def: 1 1 2π2π a ( f ) =f ( t ) cos ( nt ) dt etb ( f ) =f ( t ) sin ( nt ) dt pour n∈N . ∫ 0 ∫ 0 n n π π Lorsqu’elle converge, on désigne parSF ( t )  la somme de la série de Fourier : f +∞ a ( f ) 0 f ∑ n n SF ( t ) = +a ( f ) cos ( nt ) +b ( f ) sin ( nt ) . 2 n=1

III.1  III.1.1 Justifierla convergence de la série de Fourier de la fonction µ (rappel : µ ( t ) =sin t ). III.1.2 la convergence de la série de Fourier de la fonction Justifier ϕ (rappel :ϕ ′′ ( t ) +ϕ ( t ) =sint,ϕ ( 0 ) =ϕ ′ ( 0 ) 0). III.2 Série de Fourier de la fonction µ .

III.2.1les coefficients Calculera ( µ )  pour n∈N . Quelle est la valeur des coefficients n * b ( µ )  pourn∈ N ? n +∞ 1 1 III.2.2 .et expliciter sa somme Etablirla convergence de la série ∑ 2 ∑ 2 − p≥1 ( 4p−1 ) p=1 4p1  3  Tournez la page S.V.P.

 4 1 ∑ III.2.3la convergence de la Etablir sériecalculer sa somme et 2 2 ( 4p−1 ) p≥1 +∞ 1 ∑ 2 . 2 ( 4p−1 ) p=1 III.3 Série de Fourier de la fonction ϕ . III.3.1Etudier la parité des fonctionsG,H puis celle de la fonction ϕ est la. Quelle * valeur des coefficientsb ( )  pour n∈N ? n III.3.2une relation entre Etablira ( ϕ ′′ )  eta ( ϕ )  pour n∈N . n n III.3.3déduire la valeur de Ena( ) pourn≠1. n III.3.4 Calculera ( ϕ ) . 1 1 ∑ 2 4 III.4la convergence de cette série et. JustifierOn considère la série ( − ) ( − ) p≥1 4p1 16p1 +∞ 1 expliciter sa sommeen calculant l’intégrale duII parun autre procédé ∑ 2 4 p1 ( 4p−1 ) ( 16p−1 ) = qu’on justifiera soigneusement. 2 III.5On considère dans cette question l’applicationde classe C  deR dansR vérifiant : φ ′′ ( t ) + ( t ) ( t )  pour touttR  etφ ( 0 ) =φ ′ ( 0 ) =0. III.5.1 Lafonction φ  estelle 2π  périodique ? III.5.2fonction La φ bornée sur estelleR? −t  III.5.3La fonctiont ! e ( t ) estelle intégrable surR + ? Fin de l'énoncé.

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