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Publié par | bankexam |
Publié le | 28 février 2007 |
Nombre de lectures | 304 |
Langue | Français |
Extrait
MATHÉMATIQUES I
Filière TSI
MATHÉMATIQUES I
Partie I On considère l’intégrale :
In=
π -2 n
∫0
cos x d x
où n désigne un entier naturel. I.A I.A.1) I.A.2) I.B I.B.1) I.B.2) Déterminer une relation de récurrence entre I n + 2 et I n . En déduire une expression de I 2n et I 2n + 1 à l’aide de factorielles. Montrer l’équivalence : I n ∼ I n + 1 . Montrer que la suite ( J n ) n ∈ IN avec J n = ( n + 1 )I n I n + 1 est constante et
π 2n
en déduire l’équivalence : I n ∼ ------ . I.B.3) Application 1 Montrer, lorsque t , réel, tend vers +∞ , l’équivalence :
∫ 0 ( cos x )
π -2
t
dx
∼
π ---- . 2t
I.B.4) Application 2 À l’aide de la série de terme général u n = grale impropre
∫1
+∞
sin x d x est divergente.
x
∫ nπ
( n + 1 )π
sin x d x , montrer que l’inté-
x
I.C - On pose, pour n ≥ 1 , u n = ⎛ n + 1⎞ ln n – n – ln n! et v n = u n + 1 – u n . --⎠ ⎝ 2 I.C.1)
vn
Montrer l’équivalence :
1 ∼ ------------ . 2 12n
I.C.2) limite.
En déduire que la suite ( u n ) n ∈ IN est convergente. On notera S sa 1/6
Concours Centrale-Supélec 2004
MATHÉMATIQUES I
Filière TSI
Filière TSI
I.D - Établir l’existence d’une constante C > 0 telle que :
n!
1 n + -2 –n
∼ Cn ∼
e
. .
I.E - En utilisant la question I.B.2, en déduire l’équivalent de Stirling :
n! 2πn n e
n –n
Partie II On considère les séries entières :
n≥1
∑ -----n
x
n
et
n≥1
∑ ln ⎛ 1 + ---⎞ x ⎝ n⎠
1
n
.
II.A - Montrer que la première série entière définit une fonction continue sur [ – 1 , 1 [ et calculer sa somme f . II.B - On considère la seconde série entière. II.B.1) Déterminer son rayon de convergence. On note g sa somme, là où elle converge. II.B.2) Montrer que cette série entière converge pour x = – 1 et calculer g(– 1) . II.C - Déterminer la limite à gauche de g en 1 . II.D II.D.1) II.D.2) Montrer l’existence d’une limite l à gauche en 1 de g(x) + ln ( 1 – x ) . On pose, pour n entier strictement positif,
1 1 w n = 1 + -- + … + -- – ln n . 2 n
Montrer que la suite ( w n ) n ∈ IN est décroissante. II.D.3) Montrer que ( w n ) n ∈ IN converge vers un réel γ strictement positif. II.E - Établir que l = – γ .
Concours Centrale-Supélec 2004
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MATHÉMATIQUES I II.F - Une expression intégrale de γ . On pose I = II.F.1) II.F.2)
1
Filière TSI
∫0
1 ⎛ 1 + --------------------⎞ dt . ⎝ -- ln ( 1 – t )⎠ t
Montrer l’existence de I . Montrer que I =
∫0
+∞
1 1 ⎛ ---------------- – --⎞ e – x d x et que l’application – x x⎠ ⎝ 1–e
1 1 Φ : x a ---------------- – -- est bornée sur ]0, +∞ [ . –x x 1–e
II.F.3)
Montrer que pour tout n ≥ 1 , on a
+∞ e – e +∞ – ( n + 1 ) x 1 1 I = 1 + -- + … + -- – ∫ e Φ( x) d x . ----------------------------------- d x + ∫ x 2 n 0 0 –x –( n + 1 ) x
II.F.4)
Montrer que pour n ≥ 1 et ε > 0 , on a
∫ε
II.F.5)
+∞
e –e ----------------------------------- d x = x
–x –( n + 1 ) x
–x
–( n + 1 ) x
∫ε
( n + 1 )ε
e ------- d x . x
–x
Calculer l’intégrale
∫0
II.F.6)
+∞
e –e ----------------------------------- d x . x
En déduire I = γ .
Partie III On considère deux séries entières ∑ a n x et ∑ b n x . On fait les hypothèses n≥0 n≥0 suivantes : • La suite ( a n ) n ∈ IN est à termes positifs. • La série •
n≥0 n n
∑ an
diverge.
n≥0
∑ an x
n
a un rayon de convergence égal à 1 .
• bn = o ( an ) On note u et v les sommes respectives de ces deux séries entières sur leur intervalle ouvert de convergence. III.A III.A.1) Montrer que
n≥0
∑ bn x
n
a un rayon de convergence supérieur ou égal à 1 .
Concours Centrale-Supélec 2004
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MATHÉMATIQUES I
Filière TSI
III.A.2) On fixe un réel ε strictement positif. Montrer qu’il existe un entier naturel N tel que pour tout x tel que 0 ≤ x < 1 ,
N
v( x) ≤
n=0
∑
ε b n + -- u( x) . 2
III.A.3) En déduire qu’au voisinage de 1 v( x)= o ( u( x) ) . III.B - Montrer que si l’on remplace l’hypothèse b n = o ( a n ) par a n ∼ b n , alors au voisinage de 1 on a l’équivalence : u(x) ∼ v(x) . III.C - Application 1 : III.C.1) Déterminer le rayon de convergence de la série entière
n≥1
∑n
3
1 n ln ⎛ ch -- ⎞ x . ⎝ n⎠
III.C.2) Déterminer un équivalent simple en 1 de sa somme. III.D - Application 2 : On considère les séries entières
n≥1
∑ Hnx
n
et
n≥1
∑ ( ln n )x
n
, où l’on a posé pour n ≥ 1
1 1 H n = 1 + -- + … + -- . 2 n
III.D.1) Vérifier que leur rayon de convergence est 1 et montrer que
+∞
∀ x ∈ ] – 1, 1 [ , ( 1 – x )
n=1
∑
Hnx
n
= – ln ( 1 – x ) .
III.D.2) En déduire un équivalent au voisinage de 1 de
n≥1
∑ ( ln n )x
n
.
On pourra utiliser II.D.3. III.E - Application 3 : On pose pour x ∈ ] – 1, 1 [ ,
J ( x) =
∫0
π -2
1 ------------------------------- dt . 2 2 1 – x cos t
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MATHÉMATIQUES I III.E.1) Développer en série entière, au voisinage de 0 , la fonction
1 x a ------------------------ . avec a > 0 et préciser son rayon de convergence. 2 2 1–a x
Filière TSI
III.E.2) Montrer pour tout x ∈ ] – 1, 1 [ la relation
+∞
J ( x) =
n=0
∑ an I 2n x
2n
,
avec I 2n les intégrales étudiées en partie I et ( a n ) n ∈ IN une suite que l’on explicitera. III.E.3) Montrer qu’il existe une constante K réelle tel qu’au voisinage de 1 on ait l’équivalence : J (x) ∼ K ln ( 1 – x ) et préciser la valeur de K .
Partie IV On considère deux séries entières ∑ a n x et ∑ b n x . On fait les hypothèses n≥0 n≥0 suivantes : • La suite ( a n ) n ∈ IN est à termes positifs non tous nuls. • A n ∼ B n , où l’on a posé
n n n n
An =
p=0
∑
a p et B n =
p=0
∑
bp
• Le rayon de convergence de la série diverge.
n≥0
∑ an x
n
est égal à 1 et la série
n≥0
∑ an
On note u et v les sommes respectives de ces deux séries entières sur leur intervalle ouvert de convergence. IV.A - Vérifier l’égalité, pour tout x réel
n n
(1 – x)
p=0
∑
n
Apx
p
=
p=0
∑
a p x – An x
p
n+1
.
et en déduire que le rayon de convergence de
n≥0
∑
A n x est égal à 1 .
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MATHÉMATIQUES I IV.B - Établir les relations, pour tout x ∈ ] – 1, 1 [
∞ n=0 ∞ n=0 ∞ ∞ n=0
Filière TSI
∑
An x
n
1 = ----------1–x
∑
an x
n
et
n=0
∑
Bn x
n
1 = ----------1–x
∑ bn x
n
.
puis en déduire qu’au voisinage de 1 , on a : u(x) ∼ v(x) . IV.C - Application 1 : On considère la série entière
∞
n
Vérifier que son rayon de convergence est 1 et montrer qu’au voisinage de 1 , on a l’équivalence sera.
n=0
n≥0
∑x
a
n
, où a est un entier supérieur ou égal à 2 .
∑
x
a
∼ L ln ( 1 – x ) , où L est une constante réelle que l’on préci-
IV.D - Application 2 : IV.D.1) Montrer que les séries entières
∞ n=0
∑
x
n
2
∞
et
n=0
∑(
n + 1 – n )x
n
sont de rayons de convergence 1 et que l’on a, au voisinage de 1 ,l’équivalence :
∞ n=0
∑
∞
x
n
2
∞
∼ ∑
( n + 1 – n )x .
n
n=0
IV.D.2)
En déduire que l’on a, au voisinage de 1 , l’équivalence :
n=0
∑
x
n
2
1 ∼ ---------- ∑ 2π
∞<