HEC 2007, math 1, option S Pour tout entiernupsri´eroeuge´ua`lano,2etonMn(R)l’eevecspacleedotirirecmstaeer´arscs d’ordrenle,scffieoca`e´rstneiItairecdilmaetentit´e,Mn,1(Rceveirote’l)capscerias`deelatsm n nlignes et 1 colonne. On confondMn,1(R) etR. Pre´liminaires SoitEpanOlleproneusemecevritor´ell.eeracspneuE, toute applicationνdeEdansR+ ve´rifiant: i.ν(x) = 0 si et seulement six= 0 ; ii.pour toutλopruee,lr´ottuxdeE:ν(λx) =|λ|ν(x) ; 2 iii.pour tout couple (x, y) deE:ν(x+y)6v(x) +v(y). n Montrer que l’application|| ||∞deRva`asdsnaelruR+rutveucrtteuor:poiepae´nfid x1 n n X= deR,||X||∞= max|xi|, est une norme surR. . 16i6n xn Partie I
A. Unenorme surMn(R) 1)’aellippticaquona`,ituottameecirMnortreuqA= (ai,j) deMn(Rel,)er´ecielasso n X max|ai,j|mrserunonetuniefid´,Mn(R). La norme deAranot´eese||A||. 16i6n j=1 n ´ 2)a)Etablir pour toutXdeRga´ein,l’e:t´li||AX||∞6||A|| × ||X||∞. n b)Montrer qu’il existe un vecteurX0deR, non nul, tel que||AX0||∞=||A|| × ||X0||∞. ||AX||∞ End´eduireque||A||= sup. X∈R,X6=0||X||∞ n 2 ´ c)Etablir alors que pour tout couple (A, B) deMn(R) ,on a||AB||6||A|| × ||B||. On dit qu’une suite(Am)m>0de matrices deMn(R)converge vers une matriceAdeMn(R) silim||Am−A||= 0. On poseAm=ai,j(m)etA= (ai,j)16i,j6n. 16i,j6n m→+∞ 2 3)a)Montrer que (Am)m>0converge versAsi et seulement si pour tout (i, j) de[1, n]] : limai,j(m) =ai,j. m→+∞ b)Montrer que si (Am)m>0converge versAet (Bm)m>0converge versB, alors (AmBm)m>0 converge versAB. 4)SoitAde´nuel´ementMn(R) tel que||A||<1 m a)imr´lDnemieretA. m→+∞ b)Montrer que siλellde´reepoerurprvaletuneesA, alors|λ|<reuielqumaesictrsenE.1de´d I−AetI+Asont inversibles. m X k c)Montrer que la suiteAconverge, et exprimer sa limite en fonction de la matrice m k=0 A. Soit(Am)m>0une suite de matrices deMn(R)On.edeire´saleuqtidn´eraltermeg´eAm(qu’on p X X noteraAm) converge, si la suiteAmconverge. p m>0m=0 +∞ X Danscecas,salimiteestnote´eAm. m=0
5)unnoelltrmaenicontine,uteetuqseredenacsnconsid`ONdeMn(R´eiq´)etrefiiiu´vorrplepa p p−1 suivante : il existe un entierpieerp´suga´eouur`l2aetqleuN= 0 etN6= 0. +∞ X X 1 1 k k a)Montreeuqr´saleireNconverge. On noteM=N. k!k! k>0k=0 n n b)Montrer que{X∈R/(M−I)X= 0}={X∈R/N X= 0}. X 1 k 6)a)SoitDune matrice diagonale deMn(Rlas´erientrerqueoM.)Dconverge. k! k>0 b)SoitAune matrice deMn(R) diagonalisable,Dune matrice diagonale etPune matrice X 1 −1k inversible telles queA=P DPM.nortreuqleas´erieAconverge, et exprimer sa k! k>0 +∞+∞ X X 1 1 k k sommeAen fonction dePetD k!k! k=0k=0 X 1 k On admetuja`alqs’uprobfinduel`emque pour toute matriceAdeMn(R)eri´eas,lA k! k>0 +∞ X 1 k converge, et on note :exp(A) =A. k! k=0 m 1 ∗ 7)SoitA´le´nemetndueMn(R). On pose, pour toutmdeN:Am=I+A. m ´ a)taE´t:ielage´ni’lrilb m m k X X 1m(m−1)∙ ∙ ∙(m−k+ 1)||A|| k ||A−Am||61− k k!m k! k=0k=0 b)End´edualeuqeri(etiusAm)mconverge vers exp(A). B.Propri´et´esdel’exponentielledematrice On admet que siAetBnosntsdet´el´emeMn(R)tels queAB=BA, alors, exp(A+B) = exp(A) exp(B). 1)Montrer que pour toute matriceAdeMn(R), la matrice exp(Aenimretee)rversstinetd´ible son inverse. 2)a)SoitAune matrice deMn(R). Montrer qu’il existe une matriceSAtelle que exp(A)−I=A(I+SA). x ´ b)dierEtuuresfieinno´dcnitalofR+par :x7→e−1−2x. c)riude´dneEquesi||A||<1, alors||SA||<1. d)On suppose que||A||<1 et que exp(A) =I. Montrer queAest la matrice nulle. ++ ’ensemble 3)On noteSnlleed’esdroreyssete´muqir´rseieldctortricesma’lecevseapn, etSnl desmatricessym´etriquesre´ellesd’ordrendont les valeurs propres sont strictement positives. ++ a)Montrer que siA´le´nemeenutstdeSn, alors exp(A´lmenedtee)tsnue´Sn. ++ b)etnia`erpxertsoMtnerqricationeuel’applSnest une surjection deSnsurS. n 4)SoitAetBdeux matrices deSntelles que exp(A) = exp(B). On noteu(resp.v) n l’endomorphisme deRonanueiqntmesoase´ica`cA(resp.B), et exp(u) (resp. exp(v)) n l’endomorphisme deRquninocassatnemeea`e´ico(pxA) (resp. exp(B)). a)Montrer queAetBopres.aleursprmseˆemvsotnel b)Montrer queA×exp(B) = exp(B)×A. c)SoitFun sous-espace propre dev. i.Montrer queFepropredeexp(tnemosnue-sucapse´estlegav). ii.Montrer que la restriction deua`Finduit un endomorphisme deFdiagonalisable. d)abesusenpdteanlacE¸nsanatioalisagondediednv, montrer alors queuetvmˆestlonmese vecteurspropres.Ende´duirequeA=B. 2
Partie II n 1)`ereOnconsidRmuni de sa base canoniqueB= (e1, e2, . . . , en). n Soitfl’endomorphisme deRrpani´dfief(e1) = 0, et pour toutide[2, n]],f(ei) =ei−1. On noteNalamrtciaessi´oc`aeefnemela`tsabaeelrivatBtruop,renimrDe.te´toukdeN, k la matriceN. 2)Soitprne´u]0elde,cirtseltinamsed´efi[.On1RpetQppar :Rp= (1−p)I+pN=I+Qp. n−1 X j p −p j ´ a)pE(eaxtgalit´e:blirl’´eQp) =eN. j! j=0 b)Calculer||Rp||et||Qp||. Montrer que||exp(Qp)||61. 3)a)Soitmutnensreie´purieurou´egal`a1,tep1, p2, . . . , pm´esrsdel’ielerntllav0]eed,1[. On pose pour toutide[1, m]] ,Ri=RpietQi=Qpitron.Megs´leersse´tilasetnaviu: hi m mm Y XX exp(Qk) = expQk= exp−pk(I−N) k=1k=1k=1 ´ b)Etablir la relation suivante : m m Y Y Rk−exp(Qk) = [R1−exp(Q1)](R2× ∙ ∙ ∙ ×Rm)−exp(Q1) exp(Q2)× ∙ ∙ ∙ ×exp(Qm)−R2× ∙ ∙ ∙ ×Rm k=1k=1 m mm Y YX c)rotaoisniuavtn:eEnd´eduirelamaj||Rk−exp(Qk)||6||Rk−exp(Qk)||. k=1k=1k=1 n−1 k X p −p1−p1−p11 4)a)rtreMnoagil’le´e:t´||exp(Q1)−R1||= e−1 +p1+p1e−1 +e . k! k=2 b):´tseagilnie´estluxdeivssenemserieccudnEude´ m mm Y YX 2 2 ||exp(Q1)−R1||62pet||Rk−exp(Qk)||62p 1k k=1k=1k=1 Partie III Les notations sont celles de la partieII. Onconside`remesecmodeainn1e(p`i6m < n), telles que pour toutide[1, m]], laii-e`emipe`ec m X donnePileaveclaprobabilite´pibobaalrpvaceaFecet,´e1ilit−pi. On poseλ=pi. i=1 Unjoueurlancesuccessivementlapremi`erepi`ece,ladeuxi`emepi`ece,etc.jusqu’a`lame,eci`mepe-`i cetteexp´eriencee´tantmode´lis´eeparunespaceprobabilise´(Ω,A, P). Pour toutkde[1, m]], on noteSkesedsuisl’`asunetboeliPederbunomaleae´egtoir´laelbaeraailvakpremiers lancers. 1)a)Montrer que pour toutkde[1, m]], leskprrsileail`´e´me+e1nemedmeptrsudlereengi produit matricielR1×R2×. . .×Rkdeoialtlenrpe´estnerSk. m mn−1 k Y YX λ −λ b)Montrer la relation suivante :||Ri−exp(Qi)||=P([Sm=k])−e . k! i=1i=1k=0 +∞m X X k λ −λ2 p. c):etnaEdne´udrile’in´egalit´esuivP([Sm=k])−e62i k! k=0i=1 2)rataoisneldse´lcntfaitesPascalsos:ivsuteansunpDanammerogr const m =...; Type tab = array[1..m] of real; Var prob : tab On suppose queprob´tilibaborpseltnsieentcop1, p2, . . . , pm(ainsiprob[1]contientp1etc.) ´ EcrireunefonctionPascaldontl’en-teˆteestSm(prob : tab) : integerqui simule la variableal´eatoireSm.