ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET DINDUSTRIE
EPREUVES ESC CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
MATHEMATIQUES
OPTION ECONOMIQUE Année 1999
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage daucun document ; Lusage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.
Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
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Exercice 1 Partie A : étude dune fonction. 2 Soitfla fonction dénie surRpar:f(x) = ln(1 +x). On désigne parCsa courbe représentative dans le plan muni dun repère orthonormé. 1.Montrer quefest une fonction paire 2.Etudier les variations defet préciser les limites en+1. 3.Montrer quef(x)est équivalent à2 lnxquandxtend vers+1. En déduire la nature de la branche innie deCen+1. 4.Etudier la concavité deCet calculer les coordonnées des points dinexion. 5.ConstruireCainsi que ses tangentes à labscisse0et aux points dinexion. On donneln 2'0;7.
Partie B : étude dune intégrale. 1 2n+1 R x Pourn2N, on poseIn=dx. 2 1 +x 0 1.CalculerI0. 2.(a) CalculerI0+I1. (b) EndéduireI1. 3.(a) Quelest le signe deIn? 1 (b) Montrerque :In+In+1= 2n+ 2 1 (c) Endéduire que :In6. 2n+ 2 (d) Montrerque la suite(In)n2Nest convergente et calculer sa limite.
Partie C : étude dune série 1.(a) Montrerpar récurrence que: n k1 X (1) n1 8n2N2(1)In=ln 2 k k=1 k1 n P(1) (b) Endéduirelim n!+1 k k=1 2.(a) Alaide dune intégration par parties, montrer que: 1 Z 2n+3 1 1x In= +dx 2 2 4(n+ 1)n(1 ++ 1x) 0 1 2n+3 R x1 (b) Etablirles inégalités :06dx6 2 2 (1 +x) 2n+ 4 0 (c) EndéduirelimnIn. n!+1 3.A laide des questions précédentes, donner un équivalent de n X k1 (1) ln 2 k k=1 quandntend vers+1.
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Exercice 2 Partie A : calcul matriciel 5 14 01 0 On considère les matrices deM2(R):A=,D=etI=. 1 50 60 1 2 1.(a) CalculerA. 2 (b) Déterminerles réelsaetbtels queA=aA+bI. 1 (c) Endéduire queAest inversible et exprimerAen fonction deAet deI. 2.les valeurs propres de(a) CalculerAmatrice. LaAest-elle diagonalisable? (b) Déterminerles sous espaces propres deA. 1 (c) Endéduire une matrice inversiblePdeM2(R)telle que :A=P DP. 1 CalculerP. n n1 3.tout entier naturelque: pour(a) Montrern,A=PP D. 1 n (b) Endéduire lexpression de la matriceMoùM=A 6 Partie B : probabilités On dispose de deux urnesU1etU2ainsi que dune pièce de monnaie non truquée. Initialement, lurneU1contient une boule blanche et deux boules noires et lurneU2contient deux boules noires. On considère lépreuveEsuivante: on lance la pièce si lon obtient pile, on tire une boule deU, sinon on tire une boule deU 1 2
si la boule tirée est noire, elle est remise dans la même urne, sinon elle est remise dans lautre urne.
Pournentier naturel non nul, on désigne parXnla variable aléatoire égale au numéro de lurne dans laquelle se trouve la boule blanche à lissue denrépétitions deE.
I) Dans cette question, on e¤ectue une seule foisE. 1.La notationP B1signiant: lapièce a donné pile et on a tiré la boule blanche deU1" (on la donc remise dansU2), calculer la probabilité de lévénementfP B1g. 2.En utilisant la même notation, décrire les résultats possibles deE. 3.Déterminer la loi de la variable aléatoireX1. 4.CalculerE(X)etV(X). 1 1