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Mathématiques 1999 Classe Prepa HEC (ECO) Concours ESC

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Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1999 sur Bankexam.fr.
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ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET DINDUSTRIE
EPREUVES ESC CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
MATHEMATIQUES
OPTION ECONOMIQUE Année 1999
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage daucun document ; Lusage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.
Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
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Exercice 1 Partie A : étude dune fonction. 2 Soitfla fonction dénie surRpar:f(x) = ln(1 +x). On désigne parCsa courbe représentative dans le plan muni dun repère orthonormé. 1.Montrer quefest une fonction paire 2.Etudier les variations defet préciser les limites en+1. 3.Montrer quef(x)est équivalent à2 lnxquandxtend vers+1. En déduire la nature de la branche innie deCen+1. 4.Etudier la concavité deCet calculer les coordonnées des points dinexion. 5.ConstruireCainsi que ses tangentes à labscisse0et aux points dinexion. On donneln 2'0;7.
Partie B : étude dune intégrale. 1 2n+1 R x Pourn2N, on poseIn=dx. 2 1 +x 0 1.CalculerI0. 2.(a) CalculerI0+I1. (b) EndéduireI1. 3.(a) Quelest le signe deIn? 1 (b) Montrerque :In+In+1= 2n+ 2 1 (c) Endéduire que :In6. 2n+ 2 (d) Montrerque la suite(In)n2Nest convergente et calculer sa limite.
Partie C : étude dune série 1.(a) Montrerpar récurrence que: n k1 X (1) n1 8n2N2(1)In=ln 2 k k=1 k1 n P(1) (b) Endéduirelim n!+1 k k=1 2.(a) Alaide dune intégration par parties, montrer que: 1 Z 2n+3 1 1x In= +dx 2 2 4(n+ 1)n(1 ++ 1x) 0 1 2n+3 R x1 (b) Etablirles inégalités :06dx62 2 (1 +x) 2n+ 4 0 (c) EndéduirelimnIn. n!+1 3.A laide des questions précédentes, donner un équivalent de n X k1 (1) ln 2 k k=1 quandntend vers+1.
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Exercice 2 Partie A : calcul matriciel      5 14 01 0 On considère les matrices deM2(R):A=,D=etI=. 1 50 60 1 2 1.(a) CalculerA. 2 (b) Déterminerles réelsaetbtels queA=aA+bI. 1 (c) Endéduire queAest inversible et exprimerAen fonction deAet deI. 2.les valeurs propres de(a) CalculerAmatrice. LaAest-elle diagonalisable? (b) Déterminerles sous espaces propres deA. 1 (c) Endéduire une matrice inversiblePdeM2(R)telle que :A=P DP. 1 CalculerP. n n1 3.tout entier naturelque: pour(a) Montrern,A=PP D. 1 n (b) Endéduire lexpression de la matriceMM=A 6 Partie B : probabilités On dispose de deux urnesU1etU2ainsi que dune pièce de monnaie non truquée. Initialement, lurneU1contient une boule blanche et deux boules noires et lurneU2contient deux boules noires. On considère lépreuveEsuivante: on lance la pièce si lon obtient pile, on tire une boule deU, sinon on tire une boule deU 1 2
si la boule tirée est noire, elle est remise dans la même urne, sinon elle est remise dans lautre urne.
Pournentier naturel non nul, on désigne parXnla variable aléatoire égale au numéro de lurne dans laquelle se trouve la boule blanche à lissue denrépétitions deE.
I) Dans cette question, on e¤ectue une seule foisE. 1.La notationP B1signiant: lapièce a donné pile et on a tiré la boule blanche deU1" (on la donc remise dansU2), calculer la probabilité de lévénementfP B1g. 2.En utilisant la même notation, décrire les résultats possibles deE. 3.Déterminer la loi de la variable aléatoireX1. 4.CalculerE(X)etV(X). 1 1
II) On répète maintenant lépreuveE. 5 1 1.(a) Vérierque :P(Xn+1= 1jXn= 1) =etP(Xn+1= 1jXn= 2) = 6 6 (b) CalculerégalementP(Xn+1= 2jXn=i)pouri= 1et pouri= 2. (c) EndéduireP(Xn+1= 1)puisP(Xn+1= 2)en fonction deP(Xn= 1)etP(Xn= 2).   P(Xn= 1) 2.On poseVn=. P(Xn= 2)
(a) VérierqueVn+1=M VnMest la matrice dénie dans laPartie Aen 3.b. n1 (b) Montreralors que:pour toutnentier naturel non nul ,Vn=M V1.
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(c) Alaide de laPartie A, en déduire la loi deXn.
3.CalculerE(Xn)aisi que sa limite quandntend vers+1. - FIN -
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