Examen du Supérieur Institut Sup. de Commerce Inter. de Dunkerque. Sujet de Mathématiques 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1999 sur Bankexam.fr.
Exercice 1 0 SiInn,onrdrera,pposevnneraoc,itnoesamtlirtau-ec´tino’deM=Inpour toute matriceMerrrac,dro’dee´n. On noteraIlmanit´ed’oatrice-u-tsed-a`erdr’c(4eirI=I4) Soient (an)n∈N,(bn)n∈N,(cn)n∈N,(dn)n∈N:,dleenimrete´dsetiusseen´onadrlpaes´e a0= 2an+1=−an−6bn+ 9cn−6dn b0=−1bn+1= 3an+ 8bn−9cn+ 6dn etlesrelationsder´ecurrence: c0= 1cn+1= 2an+ 4bn−4cn+ 4dn d0=−1dn+1=an+ 2bn−3cn+ 4dn an bn 1. Soit,pour tout entiern>0,Xn= cn dn (a) Montrerqu’il existe une matriceAr´ar,centietroutpourque,leel4et,rordee’dn>1,Xn+1=AXn. 2 2 (b) CalculerA’iquertredstxilelee´rxueM.nosαetβtels queA=αA+βI. −1 (c)End´eduirequeAnvtisiere.bl´ePrtneslaresroseAsous forme d’un tableau de nombres. 2. Soient(un)n∈N, et (vn)n∈Ne´seap:re´etmrnisdteuissle, u0= 1un+1=−2vn etlesrelationsdere´currence: v0= 0vn+1=un+ 3vn n Montrerparre´currenceque,pourtoutentiern>1,A=unI+vnA. 3. (a) Montrerqu’il existe une matriceM2et,leeluq,eopru,carr´eed’ordrreitnetuotn>1, un+1un =M vn+1vn 2 1 −1 (b) SoitP= .Montrer quePest inversible, et calculerP . −1−1 −1n 4. SoitD=P MP. CalculerD, puis, pour tout entiern>0,D. 5. n n−1 (a) Montrerque, pour tout entiern>0,M=PP D. n (b)Pre´senteralorsMsous la forme d’un tableau de nombres. (c) Exprimerunetvnen fonction den. 6. n (a)D´eduiredecequipre´c`edel’expression,pourtoutentiern>0, deAsous la forme d’un tableau de nombres. (b) Donneralors l’expression dean, bn, cn, dnen fonction den. n (c) L’expressiondeAobtenue en a.) pourn>0 est-elle encore valable pourn=−1 ?
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Exercice 2 On rappelle que 2< e <3. On pose, pour tout entier natureln, e Z n In= (lnt)dt 1 1. (a) Justifierque, pour toutn,In>0. (b) CalculerI0pnraaptre´rgtaoiies,up,e,siunntnteiffeneuactI1. (c)Demˆeme,eneffectuantuneint´egrationparparties,trouverunerelationdere´currenceentreInetIn+1. D´eduiredecetterelationder´ecurrenceque,pourtoutentiernatureln, on a : e 0< In6 n+ 1 End´eduirequelimIn= 0. n→+∞ 2. n (a)Montrerparr´ecurrenceque,pourtoutentiernatureln, il existe un entierpntel queIn= (−1) (epn−n!) et exprimerpn+1en fonction depn. epn (b) Montrerque lim= 1 n! n→+∞ Exercice 3 Partie A On dispose de deux boˆıtesB1etB2,bxueeluomunsore´eet´ets12.dtdee Onconside`rel’e´preuveal´eatoireconsistanta`placerauhasard,demanie`re´equiprobable,etind´ependammentl’une del’autre,chaquebouledansuneboıˆte. On appelle alors : Xelbairavalteˆınsdabolaedobluseuaonbmerre´egaleal´eatoiB1; Nobedetıˆonelerbmel.)taanenntouebunuc-a`-tse’oceneridl’´er`esve(cpreu´teerssesepavsdi 1. Quelleest la loi deX? Donner les valeurs deE(X) etV(X). 2. (a)D´eterminerpouri∈ {0,1,2},etj∈ {0,1}pselt´esbilirobaP((X=i)∩(N=j)). Pr´esenterlesre´sultatssouslaformed’untableau`adoubleentre´e. (b) Donnerla loi deN. CalculerE(N) etV(N). 3. 3 2 P P (a) CalculerE(XN) =ijP((X=i)∩(N=j)). i=0j=0 (b)Ende´duirecov(X, N). (c)Lesvariablesal´eatoiresXetNno-tleelisdne´epndantes?s
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Partie B On dispose maintenant de trois boˆıtesB1, B2etB3,i´otebes1usoelnstmeueed´rotr,2 et 3. Onconsid`erel’e´preuveale´atoireconsistant`aplacerauhasard,demani`ere´equiprobable,etinde´pendammentl’une de l’autre, chaque boule dans une boˆıte. On appelle, comme dans lapartie A Xsdleoueboˆabslanetıvalbleaariatoirl´ealaae´egerbdenumoB1; Nlderbmone.)eluobenuctenantauireneconse-ta`d-ervu(e’csl`eep’´deviprsatsersee´ˆobesetı 1. Quelleest la loi deX?Pnt´emet´eltruop,uosire´rcekde{0,1,2,3}, la valeur deP(X=k). Donner aussi les valeurs deE(X) etV(X). 2.Comple´terletableaudonne´enannexe,quidonnelesvaleursrespectivesdesvariablesal´eatoiresXetN selonler´esultatdel’e´preuveal´eatoireeffectue´e. 3. (a)De´duiredel’examendutableaupre´c´edentlesvaleurs,pouri∈ {0,1,2,3}, etj∈ {0,1,2}des probabi-lite´sP((X=i)∩(N=jrlesr´esultatssosualofmrdeu’tnbaauledo`aleubtren.ee´P.))etnese´r (b) Donneralors la loi deN. CalculerE(N) etV(N). 4. 3 2 P P (a) CalculerE(XN) =ijP((X=i)∩(N=j)) i=0j=0 (b)Ende´duirecov(X, N). (c)Lesvariablesal´eatoiresXetNsont-ellesind´ependantes?