Mathématiques 2 2003 Classe Prepa TSI Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI)

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Concours du Supérieur Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI). Sujet de Mathématiques 2 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2 2003 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 28 février 2007
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• Langue: Français

Extrait

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE FILIÈRE TSI – SESSION 2003 ______________________ MATHÉMATIQUES 2 Durée : 3 heures Les calculatrices sont autorisées. NB. :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil a été amené à prendre. 3 (C) (resp. 3 (R)) est l’anneau des matrices carrées 3×3 à coefficients dansC(resp. dansR). On M M  0 1 0    noteIla matrice identité, etF= 0 0 1la matrice dite de Frobenius.   1 0 0   L’objet de ce problème est d’étudier le sousanneau de 3 (C) engendré parF, et d’en donner M quelques applications. Les partiesIIetIIIsont, dans une large mesure, indépendantes. Partie I:Dans toute cette partie, on travaille dans 3 (C). M 1.Soitχ F (t) = det (F–tI) le polynôme caractéristique deF. Donnerχ F (t) et en déduire queFest  i2π  diagonalisable surC. On poseraj= exp   .  3  2.On note :  x y z     2 3   3 ∈ ∈ = {xI+yF+zF, (x,y,z)C}=  z x y, (x,y,z)C  A    y z x     a / Montrer queest un sousespace vectoriel de 3 ( C ), dont on donnera une base et la dimension. A M best commutatif et reste dans/ Montrer que le produit de deux éléments de. A A 3.Montrer que tous les éléments desont diagonalisables dans une même base. A 2 4.Déterminer alors une expression factorisée du déterminant des matricesA =xI + yF + zF en fonction dex,y,z, puis donner une condition d’inversibilité de ces matrices. 1 5. SoitA∈ ,Ainversible. On établit dans cette question queA∈ .Pour cela, on considère A A l’applicationΦ:→A A M!AM a/ Vérifier queΦ.est bien un endomorphisme de A 1 b / Montrer que c’est un isomorphisme puis queA∈ . A 1 c/ Proposer une méthode pour vérifier cette conclusion (A∈ )en utilisant l’outil calcul formel. A Partie II :Soitε 3 un espace affine euclidien réel de dimension 3, despace vectoriel associé E 3 . " On rapporteε 3 (resp. E 3 )à un repère orthonormé direct (O, i , j , k ) , (resp. la base orthonormée

directe ( i,j,k ) u.v). On note classiquement(resp.u∧v) leproduit scalaire (resp. vectoriel) de " "" deux vecteurs u et v u, et=u.u lanorme euclidienne dun vecteur u . On considère lensembledes pointsM deε 3 défini par : S 2 ={M(x, y, z) ∈ ε 3 det (xI+yF+zF) = 1où x, y, z sont réels} S, On étudie quelques propriétés dedans cette partie. S " 1. dans le repèreEcrire une équation cartésienne de, j ,(O, i k ).On vérifiera que cette S équation peut se factoriser en : (x+ y + z)q(x, y, z) = 1, oùq(x, y, z) est une quantité à expliciter. En déduire que : 2 1 M (x, y, z )∈S⇔OM .a ) OM∧a= 1 2 " avec a = i + j + k . On obtient ainsi une caractérisation géométrique de. S " 2. est une surface de révolution autour de l’axeEn déduire que∆passant parOet dirigé par a . S On pourra introduire le projeté orthogonal H de M sur∆. 3. a/Donner une équation cartésienne dedans un repère orthonormé attaché à l’axe de révolution et S " " " a d’origineO. On posera K= et on choisira par conséquent deux vecteursetJ(qu’il n’est pas " a utile d’expliciter). On pourra utiliser la caractérisation géométrique dedonnée en1. S b/ En déduire la nature des méridiennes deavec un, c’estàdire des courbes intersection de S S plan contenant l’axe. En dessiner une, puis représenterdans l’espace. S 4.Pourx, y, z )M (∈S et)M' ( x' , y' , z'∈S, on définit le pointM"(x",y",z") =M∗' par : x"=xx'+yz'+zy'y"=xy'+yx'+zz'z"=xz'+yy'+zx' 2 2 a/ En calculant (xI + yF + zF) (x'I+y'F+z'F ), montrer que M"∈S d’une. On a ainsi muni S loi interne∗. 2 1 b/ SoitM(x, y, z)∈On pose .A= (xI + yF + zF). Justifier queAexiste et peut se décomposer S 1 3 2 en :A=x ' I + y ' F + z ' Favec (x',y',z' )∈R, et queM' ( x' , y' , z')∈S. DéterminerM∗. ' c/ Montrer alors que (,∗) est un groupe commutatif. S 5.Soient leplan d’équation cartésiennex + y + zet == 1∩ . P CPS a et en donner les éléments caractéristiques./ Reconnaître C b est stable par la loi/ Montrer que∗, puis que c’est un sousgroupe de (,∗). CS Partie III : Danscette partie, on se place toujours dans lespace affine euclidien réelε 3 rapporté " à un repère orthonormé direct (O, i , j , k ).

Soient les pointsA(1, 0, 0),B(0, 1, 0) etC(0, 0, 1). Pour tout pointM(x, y, z) deε 3 ,on note indifféremment ϕ (M) ou ϕ (x, y, z) la quantité : ϕ(x,y,z)=OM+AM+BM+CM On souhaite minimiser cette quantité. 1. Calculer ϕ (O). Vérifier que pour toutM∈ε 3  tel que OM >3, ϕ (x, y, z)>3. En déduire que la fonctionϕadmet un minimum. 2.Montrer queϕn’atteint son minimum en aucun des pointsO, A, B, C. Pour l’étude enO, on pourra examiner le comportement deϕau voisinage de O, le long de l’axe∆passant parOet dirigé para=i+j+k; et donc définir pour l’occasion la quantité Φ(x) =ϕ(x, x, x). Les questions suivantes précisent en quel(s) point(s) ϕ  est minimale. 3. Soitrl’application affine de ε 3 fixantOet transformantAenC,BenAetCenB. On note son application linéaire associée. Justifier quer estbien définie, que la matrice de relativement à la base= ( i,j,k ) estF, et montrer queest une isométrie vectorielle. Quelle B est la nature der? On précisera ses éléments caractéristiques. 4. Pour toutM∈ε 3 , on poseM′=r(M). Montrer que ϕ (M) = ϕ (M ′ ). 5. SoitP unpoint en lequel ϕ estminimale. On montre dans cette question quePsur la est droite∆. Pour cela, on procède par l’absurde,en supposant que P nest pas sur cette droite. a / Soit' =r(P). Pourquoi les vecteursOP etOP' nepeuventils pas être colinéaires ? 2 b/ SoitP' '=r(P' ) =r(P) et soitQl’isobarycentre deP, '' .et ' 1 Montrer que ϕ (Q) ≤ (ϕ( P )+ϕ( P')+ϕ( P'' )) . 3 c / Déduire du 4 que ϕ (Q) ≤ϕ (P) ,et du 5.a. que cette inégalité est en fait stricte. Conclure. 6. On sait désormais qu’on doit rechercher le minimum sur l’axe∆. Il s’agit donc de minimiser Φ(x) =ϕ(x, x, x). a/ Montrer que Φ(x) > Φ(0) pour toutx<0. b / Etudier le sens de variation de la fonction Φ sur R + .  1 1 1  c/ Conclure que ϕ atteint une seule fois son minimum, au pointP  , ,  , et que ce minimum  6 6 6  5 vaut . 3 ____________ Fin de l’énoncé