d´esignel’ensembledesnombresre´els,de´signel’ensembledesnombrescomplexes.Pourλ, on R CC ∈ noteλle module deλ. | | 2.iefficscntplomesexlee’isngd)e´(icesmatredesspacedtesengilxueda`oeac,`esnnlocoux C M M= (mi,je´)tnattenoonicnestocpmelex,sunematrice`acoeffiM= (mi,j) la matrice dont les t coefficientssontlesconjugue´sdescoefficientsdeMs´podeeeeticnsraaL.rtamMeeetson´tM. 1 0 µ ¶ PourM2on note( ),det(Mdentnaimrete´del)Mettr(M) la trace deMnote. OnI2= . C ∈M0 1 Le probl`eme porte sur l’´etude des sousensembles de matrices de2ad´enir,pardeste)(`tiudnoc C M atrices de( ),des rotations d’un espace euclidien de dimension 3. C 2 M2 Danslapremi`erepartie,onde´nitunproduitscalairesurl’espacecomplexeC. Dansladeuxi`emeetlatroisie`mepartie,on´etudiedessousensemblesdematricesde2( ). C M Danslaquatri`emepartie,onde´nitunestructureeuclidiennesurunsousensembledematricesde ( )et on ´etudie des automorphismes de cet espace euclidien. C 2 Danstoutleprobl`eme,desquestionsdecalculpeuventetretrait´eesinde´pendammentdesautresques ions.
Partie I 2 On notele espacevectoriel des couples de nombres complexes.Les deux vecteurse1= (1,0) et C C 2 2 2= (0,= (forment une base1) dee1, e2d)eapplee´beasecanonique. C C B a c 2 tµ ¶µ ¶ Etantdonne´deuxvecteursx= (a, b),y= (c, d) de, de matricesX= ,Y= relative C b d enta`labasecanonique,alaceriodprtsuindn´oeleit(x y) =ac+bd=X Y;dte´neianormeesl | 2 2 arx= (x x) =a+b. || ||| || || p p 2 estunespacevectorielpr´ehilbertiencomplexepourceproduitscalaireetBest une C 2 ase orthonormale de. C 2 I.1 Soientx= (a, b),y= (c, det) deux vecteurs deλ, µExprimer lesdeux scalaires complexes. C produits scalaires (y x), (λx y), (x µy) en fonction du produit scalaire (x y). | || | 2 I.2 Soientx= (a,1 + 3i),y5= (1 +i,3 2i.) deux vecteurs de C − − 2 I.2.1 Aquelle condition sur le nombre complexea, les vecteursxety?formentils une base de C I.2.2 Aquelle condition cette base estelle orthogonale?Dans ce cas calculer la norme dex. i√3 Ã2 2! 2 2 I.3 SoitT).= ( √3iC 2 ∈ M − − I.3.1 D´eterminerles valeurs propres (complexes) et les sousespaces propres deT. I.3.2Ende´duirequ’ilexisteunebaseorthonormaledevecteurspropresdeT, que l’on explicitera.
a c µ ¶ I.4 SoitU=2( ).On notex= (a, b) ety= (c, d) les vecteurs colonnes deU. Exprimer C b d∈ M t le produit matricielU Uen fonction de (x y),xety. | |||| ||||
Partie II
t On note=U2( );U U=I2. C U {∈ M} a c µ ¶ II.1 SoitU=2avec( )x= (a, b),y= (c, d). Aquelle condition sur les vecteurs colonnes C b d∈ M xetydeUatonU? ∈ U II.2 SoitU. Calculerdet(U) , le module dedet(U). ∈ U| | II.3 SoitU. ∈ U 1 II.3.1 MontrerqueUest inversible et queU−eitrappa.a`tn U t II.3.2 MontrerqueUitnepprateuq`taeaU.pparat`atien U U II.3.3 SoitV. Montrerque le produitU V.paaptreitna` ∈ UU II.4 SoitUe´emtnedestiotun´elλune valeur propre complexe deUinrmerD.ete´λ. U ||
Partie III
On note=U;det(U) = 1. SU {∈ U} i e0 µ ¶ . ourtneme´le´dno,edamtlnieceriat´Dpar:D=i R ∈ SU 0e− a c µ ¶ II.1 SoitU=2( ). C ∈ M b d III.1.1 Donnerles quatre relations portant sur les scalairesa, b, c, dracauiqappa’ltnesire´tcnetrecnaed U`.a S U III.1.2 Onsuppose queU.Montrerquepaaptreitna`c=betd=a. S U− a b 2 2 III.1.2Ende´duirequeUentsulempaapitna`treiteesisU=−aveca+b= 1. µ ¶ S U| || | b a a b 2 2 − µ ¶ II.2 SoitUavec= ,a+b= 1.une matrice de b a| || |S U
2
III.2.1De´terminerlepolynomecaracte´ristiqueχ(λ) =det(U λI2) deU. −i i End´eduirequ’ilexisteunre´eltel que les valeurs propres deUsonteete−.
Etantdonn´eeunematriceU,on admetqueUtselbalbmeselogannemae`auediatric ∈ SU Davec une matrice de passageP,se’cda`tqeriu’ilexisteetPtels que R 1∈ SU ∈∈ SU U=PP D−stuenioarefbo’ldtejqaleiondecer´esultatL.dae´omsnrttaIV.7.
III.2.2Ve´rierquelamatriceTnie`d´etseuqalanoiI.ntiertpa´e.D`aunr´eeltpear3mineret une 1S U matricePappeuqs`ael,ttearntnaT=P DP−. SU
Partie IV
Rappel:Ea`e´benuoesaohtrrmnoedalecirtetroppar,3noisnemdide´entieorendicuilcaeeenpsnaut´et 1 00 − ²1, ²2, ²3),´tenautnr´eel,onnoteR= 0cossinletacirene`tvimetebaacetelase,dtrmala 0 sincos otation deE’addixereveluetc´girrape²tunemesuetdonlgeetselered’lnaleer´. 1 t n note=A( );A=Aettr(A) = 0. C 2 V {∈ M} a c V.1 SoitA= . µ ¶ b d∈ V a r+is µ− −¶ IV.1.1 MontrerqueAest de la formeA= aveca, r, sd´Ens.elqureuiedeseutne´r r isaV 1 00 1 espacevectorielr´eeldontunebaseestforme´eparlesmatricesE= ,E= , µ−¶ µ¶ 1 2 0 11 0 0i E3= . µ−¶ i0 1 IV.1.2Montrerquel’applicationde´niesurpar:(A, B)A, B=tr(ABtprunuiod´e)ditn V ×V 7→h i 2 2 scalairesurl’espacevectorielre´el.EnnotantA=A, Ala norme deA, exprimerA V |||| hi |||| p en fonction dedet(A). IV.1.3 Pourjetkpaaptrnena`tla’ensemble1,2,3 ,calculer les produits scalairesE ,E. Quepeut j k { }h i onende´duire?
Danslasuiteonconside`recommeunespaceeuclidien,pourleproduitscalaired´eni V cidessus. Onoriente desorte que la base(EE ,E ,)soit direct. 1 2 3 V
1 V.2 SoitP.On note`Ptourtuop:rapruseineond´catipplil’aA,`P(A) =P AP−. ∈ SU V∈ V IV.2.1 Montrerque`endnriueoen(lidit`adc’esdlane’lecapscueerpmosmhirteogohoetsnuuaot P V morphisme dequi conserve la norme). V IV.2.2 SoientPetQdans .Montrer que le produitP Qaptreitnpantrerque`aetmoee´sopmocal S US U `P`Qeierv´`P`Q=`P Q.