Mathématiques 2000 Classe Prepa B/L Concours Ecole Normale Supérieure

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Concours du Supérieur Concours Ecole Normale Supérieure. Sujet de Mathématiques 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2000 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2000

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

ENS

SESSION DE 2000

COMPOSITIONDEMATHEMATIQUES

Sujet commun :ENS Ulm-Cachan-Fontenay

Durée :4 heures

Lénoncé comporte 5 pages

Calculatrice autorisée

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PROBLEME I Dans ce problème, on étude quelques propriétés des suites équidistribuées et lon montre la loi de Benford sur les puissances de deux. C([0;2];R)est lensemble des fonctions continues à valeurs dansRdénies sur lintervalle[0;2]:

Six2R;on noteE(x)la partie entière dex;cest-à-dire luniquek2Ztel quek6x < k+ 1:

On désigne parRzetFz(resp.RfetFf)les parties réelles et imaginaire dun nombre complexez(resp. les fonctions parties réelle et partie imaginaire dune fonctionfà valeurs complexes).

On désigne par #Ele cardinal, cest-à-dire le nombre déléments, dun ensemble niE:

PARTIE I  Soit(u pourtout2]0;2]et toutN2N u n ) n2N ne suite déléments de[0;2]note. On  1  F N (#) =fn2N; n6Ntel queu n 2[0; [g: N est é On dit que(u n ) n2N quidistribuée dans[0;2]si   82]0;2];limF N () =: N!+1 2 1. Soit(u n )  une suite équidistribuée dans[0;2]: n2N (a) Montrerque pour tous0<  1 <  2 62et pour tout" >0;il existeN 0 2Ntel que pour toutN>N 0 on a : ( 2  1 ) 06F()F()6+": N 2 N 1 2 (b) Montrerque pour tout2[0;2]; 1  lim #fn2N; n6Ntel queu n =g= 0 N!+1 N (on pourra commencer par étudier le cas2]0;2]): une suite équidistribuée dans[0;2]: 2. Soit(u n ) n2N 

(a) OnnoteIun intervalle ouvert inclus dans[0;2], etf= 1 I la fonction caractéristique deI;dénie par : 8x2[0;2]nI f(x) = 0;8x2I; f(x) = 1: N 1 P Déterminerlimf(u n ): N!+1 N n=1  (b) Onappelle fonction en escalier sur[0;2]une fonctionfpour laquelle il existep2Netp+ 1réels 0 =a 0 < a 1 <  < a p = 2tels quefest constante sur chaque intervalle de la forme]a i ; a i+1 [: N 1 P Exprimerlimf(u n )lorsquefest une fonction en escalier. N!+1 N n=1 (c) Soitf2C([0;2];R):On admettra que, pour tout" >0;il existeg " fonction en escalier sur[0;2] telle quesupjf(x)g " (x)j< ":Montrer que x2[0;2]

2 N Z X 1 1 limf(u n ) =f(t)dt N!+1 N2 n=1 0

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3. Soitmaintenant une suite( )  délément0;2]; u n n 2N s de[0;2]telle que, pour toute fonctionfcontinue sur[ on a 2 N Z X 1 1 limf(u n ) =f(t)dt N!+1 N2 n=1 0 Montrer que cette suite est équidistribuée dans[0;2]

PARTIE II Sifest une fonction continue à valeurs complexes dénie sur[0;2];alorsRfetFfsont continues sur cet intervalle, et on note 222 Z ZZ f(t)dt=Rf(t)dt+iFf(t)dt 0 00  Soita2R:On dénit u)  par :8n2N; u= 2(n ne suite(u n n 2N n aE(na)): 2 R 1 1. Calculerexp(ikt)dtpourk2Z: 2 0 2. Onsupposeairrationnel, cest-à-dire élément deRnQ: N P (a) Exprimerexp(iku n )pour toutk2Z: n=1 (b) Unpolynôme trigonométrique est une fonctionPdénie sur[0;2]par : p X P(t) =c k exp(ikt); k=p  oùp2Net lesc k (k=p; :::; p)sont2p+ 1Montrer que pour tout polynômenombres complexes. trigonométriqueP;on a 2 N Z X 1 1 limP(u n ) =P(t)dt: N!+1 N2 n=1 0 (c) On admet que pour toute fonctionf2C([0;2];R)et pour tout" >0;il existe un polynôme trigonométriquePtel quesupjf(x)P(x)j< ":Montrer que ce polynômePpeut être supposé à x2[0;2] valeurs réelles.En déduire que la suite(u n )est équidistribuée.  n2N N 2 R p P 1  3. Lenombreaest maintenant élément deQ:a=; p2N; q2N:En étudiantexp(iku n )etexp(ikt) q2 n=1 0 nes distribuée. pour une valeur dek2Zbien choisie, montrer que la suite(u n ) n2N t pas équi  PARTIE III pp n+1 1. Montrerquil existe une constanteC(à déterminer) telle que pour toutn2N;si1062610;avec p2N;alorsp=E(nC) n 2. Soitn2N:Montrer que le premier chi¤re (à gauche) dans lécriture décimale de2estk; k2 f1;2; ::;9g, si et seulement si   nln 2 lnk6nln 2(ln 10)<ln(k+ 1) ln 10   3. PourN2Netk2 f1;2; ::;9g;on noteX k (N)le nombre dentiersn2N; n6Ntels que le premier 1 n chi¤re dans lécriture décimale de2estk:DéterminerlimX k (N): N!+1 N ln 2 (On admettra ici que=2Q) ln 10

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4. Quel sens peut-on donner à la phrase suivante :" Quand on choisit au hasard un nombre qui est une puissance de2;il y a plus de chance que ce nombre commence par1que par2;par2que par3;..., par8 que par9" ?

PROBLEME II Dans ce problème, on cherche à décrire lensemble des endomorphismes dun espace vectoriel laissant invariants tous les vecteurs dun hyperplan donné. SoitEun espace vectoriel surRde dimensiondavecd>2:On considère un hyperplanHdeEsous-espace(i.e. un vectoriel deEde dimensiond1)etuun endomorphisme deEtel que u(h) =h;pour touth2H; i.e. laissantinvariant tout élément deH:

PRELIMINAIRES Soitaun vecteur deEqui nappartient pas àH: 1. Montrerquil existe un unique réelet un uniqueh a 2Htel que u(a) =a+h a :

2. Montrerque le réelne dépend pas du choix dea2= H:

PARTIE I On suppose dans cette partie que6= 1: 1. Montrerqueest valeur propre deu:En déduire queuest diagonalisable et que lespace propre associé à ;notéE  , est de dimension1: 2. Montrerque les seules droites vectoriellesD(i.e. lesseuls sous-espaces vectoriels deEde dimension1)tels queu(D)Dsont les droites contenues dansHou dans la droiteE  : SoitVun sous-espace vectoriel deE: 3. Montrerque siE  VouVHalorsu(V)V: 4. Onsuppose dans cette question queE  (VetV(Het lon désigne parDune droite vectorielle telle que DVetD(H: (a) SoitF=E  +D:Vérier queu(F)F: (b) Montrerqueu(V)(V: 5. Déduiredes question précédentes, une condition nécessaire et su¢ sante pour queu(V)V:

PARTIE II On suppose dans cette partie que= 1: 1. Montrer quil existe une application linéaire, notéef;deEdansRtelle quef(x) = 0si et seulement si x2H: 2. Montrerquil existe un unique vecteurc2Htel queu(x) =x+f(x)cpour toutx2E: 3. Montrerqueuest bijective et calculer son inverse. On suppose queunest pas lapplication identité.

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4. Décrireles valeurs propres et les espaces propres deu:

5. Enchoisissant une base adéquate deE;donner une forme matricielle la plus simple possible deu:

6. Donnerune condition nécessaire et su¢ sante sur un sous-espaceVdeEpour queu(V)V:

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