ECRI COME Banque dépreuves communes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esc marseille/ icnancy /esc reims/ esrouen /esc toulouse
CONCOURS DADMISSION
option lettre et sciences humaines
MATHÉMATIQUES
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Lénoncé comporte 6 pages
Année 2000
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de lénoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs a¢ rmations.
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EXERCICE 1 Eest lensemble des polynômes à coe¢ cients réels, de degré inférieur ou égal à4(que lon peut encore noter k R4[X]);on désigne parBla base canonique deEformée des élémentsek:ainsiek(X) =Xpourk= 0;1;2;3et 4: On désigne, dautre part, parIlensemble des polynômes impairs, et parPlensemble des polynômes pairs de E: 1. MontrerqueEest somme directe deIet deP;cest-à-direE=IP: k P j 2. Onconsidère lensemble des polynômespkdénis, pourk= 0;1; ::;4;parpk(X) =X j=0
0 (a) Montrerque lespkconstituent une base deEque lon noteraB : 4 P 0 (b) SoitPle polynômeakekoù lesaksont des réels; exprimer les composantes dePdans la baseB : k=0
EXERCICE 2 Un atelier fabrique des pièces selon un processus composé de deux opérationsO1etO2unefaites successivement : pièce est dabord façonnée sur un premier type de machine :cest lopérationO1;puis elle est nie sur un second type de machine :cest lopérationO2: 1. LopérationO1est e¤ectuée sur3machinesM1; M2etM3: M1façonne1500pièces par jour avec une proportionp1= 0;006de défectueuses. M2façonne2000pièces par jour avec une proportionp2= 0;008de défectueuses. M3façonne2500pièces par jour avec une proportionp3= 0;004de défectueuses. De la production journalière, on extrait une pièce au hasard.
(a) Calculerla probabilité quelle soit défectueuse. (b) Lapièce extraite est défectueuse; calculer la probabilité quelle ait été façonnée parM1? parM2? par M3?
2. Les6000pièces produites quotidiennement passent ensuite, par lots de500;sur une machine uniqueMpour la nition.Il savère que chaque pièce a une probabilité égale0;015dêtre ratée parM;indépendamment du fait quelle ait été bien ou mal façonnée. (a) Onprélève10dans un lot ayant subi lopérationO2;et on désigne parXle nombre de pièces pour laquelle lopérationO2a échoué. Quelle est la loi suivie parXson espérance et sa variance.? Donner (b) Onétudie maintenant tout un lot de500pièces, et on désigne parYle nombre de pièces pour laque-lle lopérationO2a échoué.Par quelle loi de probabilité peut-on approcherYalors les? Donner probabilités des évènements suivants : Y;= 5Y66 ;Y= 3sachantY66
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3. On tire maintenant une pièce au hasard parmi les6000produites quotidiennement, et ayant subi les2 opérations. Calculerles probabilités des évènements suivants :
(a) Les2opérations ont été mal faites. (b) Uneseule opération a été mal faite.
PROBLEME Dans tout le problème, on dit quune foncctionfdénie sur[0;+1[et à valeurs dansRcvérie les conditions si : fest continue sur[0;+1[ p Il existe un réelA>0;un réel >0et un entierpdeNtels que, pour toutt>A;jf(t)j6t :
Partie I n nétant un entier naturel,fest la fonction dénie sur[0;+1[parf(t) =t :
1. Montrerquefvérie les conditionsc .
nxt 2. Soit'la fonction dénie sur[0;+1[par'(t) =; xt eétant un réel strictement positif. (a) Donnerle tableau de variations de': (b) Endéduire quil existe un réelt0tel que pour toutt > t0; '(t)<1: +1 R (c) Montrerque pour toutx >0; '(t)dtconverge. 0 +1 R 3. OnappelleKnlapplication de]0;+1[dansRparKn(x) ='(t)dt: 0 (a) Exprimer,pourn >0; Kn(x)en fonction deKn1(x): (b) Exprimer,pourn >0; Kn(x)en fonction denet dex: (c) Onconsidère la série de terme généralKn(x); xétant un réel strictement positif; pour quelles valeurs dexconverge-t-elle ? +1 R 2 3 4xt 4. Calculer(1 +t+t+t+t)e dt: 0 Partie II Dans cette partie,fest la fonction dénie sur[0;+1[parf(t) = sint
1. Montrerquefcvérie les conditions +1 R xt 2. Montrerque(sint)econverge. 0 +1 R xt 3. Onappelleglapplication de]0;+1[dansR;dénie parg(x) =(sint)e : 0
(a) Alaide dune double intégration par parties, déterminer une expression explicite deg(x): xtxt (b) Déterminerune primitive sur]0;+1[de la fonctiont7!(sint)esous la formee(cost+sint); 2 (; )2R: Retrouver lexpression explicite deg(x):
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Partie III fest une fonction dénie sur[0;+1[et à valeurs dansRvériant les conditionsc . 1. Montrerque, pour toutxstrictement positif, les intégrales +1+1+1 Z ZZ xtxt2xt f(t)e dt;tf(t)e dt;t f(t)e ddt 0 00 convergent. +1 R xt On appelleglapplication de]0;+1[dansR;dénie parg(x) =f(t)e dt: 0 2. Soitu0un réel positif quelconque, montrer que pour toutu6u0;on a 2 u u u0 je1uj6e : 2 x0 3. Soitx0un réel strictement positif ethtel quejhj6;montrer que, pour toutt>0; 2 2 2 h t ht x0t=2 e1 +ht6e 2 x 0 4. Endéduire que, pour toutx0;et pour touthtel quejhj6; 2 +1+1 Z Z g(x0+h)g(x0)jhj x0t2x0t=2 +tf(t)e dt6tjf(t)je dt h2 0 0 Montrer quegest dérivable sur]0;+1[;et que, pourx0>0; +1 Z 0 x0t g(x0) =tf(t)e dt: 0 sint 0 5. Soitf:t7!;donner lexpression deg(x)pour toutx >0;puis en déduire celle deg(x): t