ECRI COME Banque dépreuves communes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esc marseille/ icnancy /esc reims/ esrouen /esc toulouse
CONCOURS DADMISSION
option économique
MATHÉMATIQUES
Aucun instrument de calcul nest autorisé. Aucun document nest autorisé.
Lénoncé comporte 4 pages
Année 2000
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de lénoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs a¢ rmations.
1/4
Exercice 1 SoitXune variable aléatoire à densité dénie sur un espace probabilisé.On notefune densité deX,Fsa fonction de répartition.On fait les trois hypothèses suivantes: i) Sitappartient à] 1;0[,f(t) = 0.
ii) Sitappartient à[0;+1[,f(t)est positif ou nul.
iii)fest continue sur]0;+1[.
1 1. Montrerque léquationF(x) =admet une solution unique sur]0;+1[. 2 Cet unique réel, que lon noteram, sera appelémédianedeX.
2. Danscette question, on suppose queXsuit une loi exponentielle de paramètre 1. Montrer queXsatisfait aux hypothèses du début de lexercice et déterminer la médiane deX.
t 3. Onsuppose dans cette question que la densité deXest donnée sur[0;+1[parf(t) =t eet sur] 1;0[ parf(t) = 0. (a) Vérierquefsatisfait aux hypothèses du début de lexercice. (b) Déterminerla fonction de répartitionFdeX. (c) Montrer,sans chercher à la calculer, que la médianemdeXvérie16m62. 2 (On donne6< e<9). On se propose, dans la suite de cette question, de calculer une valeur approchée demintroduit. On pour cela la fonctiongdénie sur[1;2]parg(x) = ln(2x+ 2), fonction qui va permettre de construire une suite convergeant versm. (d) Montrerqueg(m) =m. (e) Montrerque sixappartient à[1;2]alorsg(x)appartient à[1;2]et 1 jg(x)mj6jxmj 2 (f) Onconsidère la suite(un)dénie paru0= 1et pourn >0parun=g(un1). n 1 Montrer quejunmj6 2 2 (g) Déterminerun entierntel queunsoit une valeur approchée demà10près. 4. Onrevient maintenant au cas général et on suppose que la variableXadmet une espéranceE(X)et une varianceV(X)note toujours. Onmla médiane deX. (a) Montrerquon a les inégalités : m+1 Z Z 2 2 V(X)>(tE(X))f(t)dtetV(X)>(tE(X))f(t)dt 0m (b) Endistinguant les casm6E(X)etm > E(X), montrer que: p jmE(X)j62V(X)
2/4
Exercice 2 Eest lespace vectoriel des polynômes à coe¢ cients réels et de degré inférieur ou égal à 3.On désigne parf lapplication qui à un polynômePdeEassocie le polynômef(P)déni par: f(P)(X) =P(X+ 1) +P(X)
1. Montrerquefest un endomorphisme deE.
2 3 2. OnnoreBla base usuelle deEconstituée, dans cet ordre des quatre polynômes1,X,X,X. 0 1 2 1 1 1 0 2 2 3 B C Montrer que la matrice defdans la baseBest @ A 0 0 2 3 0 0 0 2
3. Montrerquefest bijectif.
1 4. Calculerla matrice defdans la baseB. 2 3 5. SoitPun élément deEdéni par :P(X) =a0+a1X+a2X+a3X. 1 (a) Expliciteren fonction des réelsa0,a1,a2,a3le polynômeQ=f(P). (b) Onconsidère pour tout entier strictement positifnla somme k=n X k S(n() =1)P(k) k=1 n Exprimer simplementS(n)en fonction de(1),Q(n+ 1)etQ(1). (c) Expliciteralors la valeur deS(n)en fonction den,a0,a1,a2,a3
Exercice 3 Test lensemble des couples(x; y)de réels solutions du système dinéquations 1 13 x>y>x+y6 4 44 0 On noteTlintérieur deTà savoir lensemble des couples(x; y)solutions du système dinéquations 1 13 x >y >x+y < 4 44 1 12 Soitfla fonction dénie surTpar :f(x; y+) = x y x+y 0 1. Représentersur un même graphiqueTetT. 02 2. Onadmet queTest un ouvert deR. 0 (a) Déterminerles dérivées partielles dordre1surTde la fonctionf. 0 (b) Montrerquefnadmet pas dextremum local (et donc a fortiori absolu) surT.
3. Démontrerpar de simples considérations sur des inégalités que lon a pour tout couple(x; y)deT: 16 26f(x; y)6 3 On considère une urne contenant des boules blanches (en proportionp), des boules rouges (en proportionr) et des boules vertes (en proportionu).
3/4
1 11 On suppose quep>r>u>et quep+r+u= 1. 4 44 On e¤ectue indéniment des tirages successifs dune boule dans cette urne avec remise entre deux tirages. Pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1, on noteBn(respectivementRn,Vn) lévénement:Tirer ieme une boule blanche (respectivement rouge, verte) auntirage". On appelleX(respY) la variable aléatoire égale au rang dapparition de la première blanche (resp rouge). On dénit alors la variableD=jXYjégale au nombre de tirages séparant la sortie de la première blanche et de la première rouge.
4. Déterminerla loi deXde même pour. FaireY.
5. SoitietjEn distinguant les casdes entiers naturels non nuls.i=j,i < jeti > j, exprimer lévénement (X=i)\(Y=j)à laide des événements décrits dans lénoncé. En déduire la loi du couple(X; Y).
6. LesvariablesXetYsont-elles indépendantes?
7. Soitkun entier naturel non nul, montrer légalité: h i pr k1k1 P(D=k(1) =p) +(1r) p+r
8. MontrerqueDadmet une espérance et queE(D) =f(p; r). EncadreralorsE(D).