ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET DINDUSTRIE
EPREUVES ESC CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
MATHEMATIQUES
OPTION ECONOMIQUE Année 2000
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage daucun document ; Lusage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.
Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
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Exercice 1 x 1. Soitf la fonction dénie surRparf(x) =. 2 x+x+ 1 On désigne parCsa courbe représentative dans un repère orthonormé.
(a) Etudierles variations de f ainsi que ses limites en1et+1. (b) Calculerune équation de la tangenteTàCà labscisse 0. (c) Etudierla position relative deCet deTles points dintersection.. Préciser (d) ConstruireCetT. ( u= 1 0 u 2. Onconsidère la suite(un)n2Ndénie par : n pour toutn2N; un+1=f(un) = 2 u+u+ 1 n n 1 1 (a) Soitpun entier naturel non nul.Montrer que :f( )6. p p+ 1 1 (b) Endéduire par récurrence que pour toutn2N,0< un n+ 1 (c) Calculerlimun. n!+1 1 1 (d) Vérierque :=un+ 1 + u u n+1n n 1P1 (e) Endéduire, par récurrence et à laide du 2.(b) que pour toutn>1;6n+ 1 +. unk k=1 k R 1dx (f) Justierlinégalité pour tout entierk>2;6. k x k1 n P1 1 (g) Endéduire que :pourn>2;6ln(n)pour, puis que :n>2;6n+ 2 + ln(n). k un k=2 (h) Alaide des résultats, précédents, calculerlimnun. n!+1
Exercice 2 Partie A 0 1 0 01 @ A Soit la matriceA= 101. 0 11 On considère lensembleEdes matricesMdeM3(R)telles que 2 33 M=xA+yA+zAavec(x; y; z)2R
2 3 1. (a)CalculerAetA. 2 3 (b) EtablirqueA,AetAsont linéairement indépendantes. (c) JustierqueEest un sous-espace vectoriel deM3(R). Endonner une base et la dimension.
2. (a)Calculer les valeurs propres deA. (b) LamatriceAest-elle diagonalisable ?
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Partie B 3 3 SoientB=(e1; e2; e3)la base canonique deRetu= (a; b; c)un élément deR. 3 On considère lendomorphisme g deRdéni par :g(e1) =e2; g(e2) =e3etg(e3) =u. 1. (a)Ecrire la matrice degdans la baseB. 8 <ac= 1 (b) Endéduire que :g(u) =e1()a+bc= 0 : 2 b+c= 0 3 2. Déterminerpar leur matrice dans la baseB, quand ils existent, les endomorphismes g deRtels que : g(e1) =e2; g(e2) =e3; g(e3) =uetg(u) =e1
Exercice 3 On dispose dune urne contenant une boule blanche et une boule noire ainsi que dune pièce non truquée.On considère lexpérienceEsuivante : on jette une fois la pièce
si lon obtient pile, on tire avec remise une boule de lurne
si lon obtient face, on tire sans remise une boule de lurne.
1. Onrépète deux foisE. SoitXla variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.
(a) Donnerles valeurs deX. 1 (b) Dénirlévénement(X= 2), en déduireP[X= 2] =et donnerP[X= 0]. 8 (c) Calculerlespérance et la variance deX.
2. OnrépèteEet on sarrête dès que lurne est vide ou dès que lon a e¤ectuéEtrois fois. SoientYla variable aléatoire égale au nombre de réalisations deEe¤ectuées etZla variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.
(a) CalculerP[Y= 2]. Endéduire la loi de Y . 11 (b) MontrerqueP[Y= 3\Z= 1] =. Déterminerla loi du couple(Y; Z). 32 (c) Calculerla covariance de ce couple.
3. OnrépèteEjusquà ce que lon obtienne la première boule blanche. Soit T la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de E ainsi e¤ectuées.
(a) Quelest lensemble des valeurs de T ? (b) CalculerP[T= 1]etP[T= 2]. (c) Soit n un entier.Calculer pourn3la probabilité de lévénementEn2: "lesn - 2 premières réalisations deEdonnent chacune pile et une boule noire". n1 3 1 En déduire que pourn2,P[T=n] = 2 4 (d) Calculerlespérance de T .