Mathématiques 2000 Classe Prepa HEC (ECS) EDHEC Lille

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Examen du Supérieur EDHEC Lille. Sujet de Mathématiques 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2000 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2000

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 76
• Langue: Français

Extrait

EDHEC School of management

ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD Concoursd’admissionsurclassespre´paratoires

MATHEMATIQUES Option scientifique Ann´ee2000

Lapr´esentation,lalisibilit´e,l’orthographe,laqualite´delare´daction,laclart´eetlapre´cisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedansl’appr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvit´esa`encadrerdanslamesuredupossiblelesre´sultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument:seulel’utilisationd’unere`glegradue´eestautorise´e.

L’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel´electroniqueestinterdite.

Exercice 1 1.Ladur´eedevied’uncomposante´lectroniqueestunevariableale´atoireXedtsinee´dfcontinue, strictement × positive surRet nulle surR − . On noteFperaitititnoed´rncfolaondeX. (a)Ond´esignepartethnctiodia’la`,nofaledes.ifitoserimprExed´rxuemcttpenlseeristFe,lil´tbabiapro p(t,h) que le composant tombe en panne avant l’instantt+hliofcnitnoantinesachantqu’tnatsni’la`eroc t. f(t) ´ + (b) Etablirque, lorsqueh,est au voisinage de 0p(t,h)∼h. 1−F(t) f(t) Onposede´sormais,pourtoutre´elpositift:λ X (tab)i=ensˆur.Onλ X (t)≥0. 1−F(t) La fonction positiveλ X ntouposaucomnnedenndeedapatxustexuatapedeppaee´lX. × 2. SoitXbliaarevunopiuqeriotae´laesse`ednudeneis´tecontinue,strictnemesoptvitiruseR, nulle surR − et de taux de panneλ X . t R (a)Pourtoutre´elstrictementpositift, calculerλ X (u)upuis montrer que la seule connaissance de la 0 fonction ”taux de panne”λ X rednoitcnofalrenmieretd´deetrmpeionrtit´epaFdeX. (b)De´duiredelaquestionpre´ce´dentequelesvariablessuivantdesloisexponentiellesposse`dentuntaux de panne constant et qu’elles sont les seules dans ce cas. 3.Ladur´eedevie(enanne´es)d’unappareilestunevariableale´atoireXdont le ”taux de panne” est la fonction 3 λ X rdfin´epaieλ X (t) =t. (a)Quelleestlaprobabilite´quecetappareilsurviveplusd’unan? (b)Quelleestlaprobabilite´quecetappareil,ˆag´ede1an,surviveplusde2ans?

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Exercice 2 Dans cet exercice,xennusegi´lle´reedentme´ed´[0,1[ etnreitnenueire´pusurou´egal`a1. 1. p+1 1 R t1 × (a) Montrerque:∀p∈N,≤ ≤. p+ 1t p p k P 1 × (b)Ende´duireque:∀k∈N,0≤ −ln(k)≤1. p p=1 2. n px n P x R t (a) Montrerque: =−ln(1−x)−dt. 1−t p=1 p 0 n x (b)Ende´duirequelas´eriedetermege´ne´ralconvergeetexprimersasommeenfonctiondex. n 3. 2n (a) Pourtoutxde ]0,lim ln(1[, calculernln(n)x). n→+∞ n (b)Ende´duireque,pourtoutxde [0,(nllare´n1e[´,al´sreeiedetmrgen)xest convergente. n+∞ P P k k On pose maintenantS n (x) =ln(k)xetS(xln() =k)x. k=1k=1 − 4.Lebutdecettequestionestdetrouverun´equivalentsimpledeS(x) lorsquex.est au voisinage de 1 (a)Montrer,enutilisantlapremi`erequestion,que: n kn X XX k x k 0≤ −S n (x)≤x p k=1 p=1 k=1  ! n p n 1 P x P 1x n+1 (b)Ende´duireque:0≤ −x−S n (x)≤. 1−px p1−x p=1p=1 n P 1 n+1 (c) Justifierque: limx= 0. p n→+∞ p=1 ln(1−x) (d)End´eduireque:S(x)∼ −. 1 1−x − Exercice 3 Unsondageconsistea`proposerl’affirmationA´enndoontilapupoe´drobatejuseL.eacertain`endsu’enseepsrno ´etantde´licat,lestratage`mesuivantestmisenplaceafindemettreenconfiancelespersonnessond´eespourqu’elles ne mentent pas. . . L’enquˆeteurdisposed’unpaquetde20cartes,num´erot´eesde1a`20,qu’ilremeta`lapersonnesond´ee.Celle-citire unecarteauhasardetnelamontrepas`al’enqueˆteur.Lar`egleestalorslasuivante: –silacarteportelenum´ero1,lapersonnesonde´ere´pond”vrai”sielleestd’accordavecl’affirmationAet ’faux” sinon. –silacarteporteunautrenume´ro,lapersonnesonde´ere´pond”vrai”siellen’estpasd’accordavecl’affirmation Aet ’faux” sinon.

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Lebutdel’enquˆeteestd’´evaluerlaproportionptnemca’de´rtellerdcoecavdsceteetdgeneonquisonpopulati l’affirmationA. 1.Oninterrogeunepersonneselonceproce´de´etonconside`rel’e´v´enementsuivant,not´eV´eerndpol:pareosnn ”vrai” On noteθ=P(V). Enutilisantlaformuledesprobabilite´stotales,exprimerθen fonction deperiunueps,ide´dpen fonction deθ. 17 2.Certainesconside´rationsthe´oriqueslaissentpenserquep= . 18 1 (a)V´erifierqueθ= . 10 (b)Calculerlaprobabilit´epourqu’unepersonneayantre´pondu”vrai”soitd’accordavecl’affirmationA. Onrevientaucasge´ne´ralou`l’onneconnaˆıtnip, niθ. 3.Onconsid`ereune´chantillonal´eatoire,detailleneeotnntois´dree´edtiartxe,onncioatulopapelS n , le nombre der´eponses”vrai”obtenues.Onsupposenzgraasseurpondpocrnovuiorereis´d´eetecqulltianchseegannot assimilable`auntirageavecremise. (a) Donnerla loi deS n .ecnairavasteasiinseuqsenore´pecna S n (b) Montrerque ,est un estimateur sans biais et convergent deθ. n 4.Danscettequestion,onsupposequel’onare´alis´eun´echantillonde100personnesetonconstateque23 personnesontr´epondu”vrai”. (a) Donnerune estimation ponctuelle deθet dep. (b)Donnerunintervalledeconfiancea`95%deθpuis dep. Onrappelleque,siΦde´signelafonctionder´epartitiond’unevariableXsuivant la loi normaleN(0,1), alors Φ(1,96) = 0,975.

Probl`eme 3 Onconsid`erel’espaceeuclidienRialaonerudorcstiun,mupidt´e(./.nipad´efi):r 30 00 030 00 0 ∀u= (x,y,z)∈R,∀u= (x ,y ,z)∈R,(u / u) =xx+yy+zz p La norme du vecteurunfieiaprsteoral´esdkuk= (u / u). 3 On noteB= (e 1 ,e 2 ,e 3 ) la base canonique deRet on rappelle queBehtnotsroeepoorm´produrleeirtsuilaca d´efinici-dessus. Lebutdeceprobl`emeestdemontrerquel’onpeuttrouverunefamilledecardinalmaximal,F= (u 1 ,u 2 , . . . ,u n ) 3 forme´edendeuxesetuxdi`adeetruvceatriusindstcnitseR´enr’uquisniaela: pour tout couple d’entierstels que (i,jire´tnafi1)v≤i < j≤n, on ait:(u i / u j ) =α. Lapartie1permetd’obtenirunre´sultatd’alg`ebreline´aireutilepourlasuite,lapartie2e´tudielespropri´et´esd’une tellefamilleetlapartie3proposelaconstructiond’unefamillesolutionduprobl`emepourn= 4 (cette valeur est d’ailleurs la valeur maximale possible denntmo´esdparasenee`lborpecsnade´rme).maiscer´esultat

Partie1 Dans cette partie,nuratsuelntnerniee´uo`lagre´prueioutr´eela2.Pourtseuta, on noteM a , la matrice deM n (R) dontles´el´ementsdiagonauxsonttouse´gaux`a1,lesautrese´tante´gauxa`a. On noteIriceamatlede´tinuM n (R) etJla matrice deM n (R) dont tous les coefficients valent 1. 1. (a)Jest-elle diagonalisable?

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