Proble`me1 Notations: –n´d.a3´preeiruuoe´ag`lesigneunentiersu –Mn(Redelbmesecirtamsenl’st)er´eescarrdresd’oneocffi`carse´eitn.sleInntde´eittrmaeiicgisealen´d t deMn(Ree´tontseMenematricos´eed’uaLrtnaps.)M. n –Ruiodprdunimustet´euenonoqicenaalristac< , >seifinipard:´x= (x1,x2,...,xn) et y = n P (y1,y2,...,yn) alors,< x,y >=xkyk. k=1 x1y1 notant les matrices unicolonnesX= eten confondant les matrices En. etY=. xnyn t d’ordre 1 et les scalaires, on a alors< x,y >=XY.eetsee´tonLaco´ieea`onmraesstscalairceprodui k.k. n –B= (e1,e2,...,enedeuqinoelgn)sdi´eanecasabR. n On rappelle que la matrice de passagePd’une base orthonormale deRnua`tuaeaberseorthonormale n t−1 deR´vrefiieP=P. LespartiesIetIIsontind´ependantes.
Partie I. 1.Onconsid`erelesmatricessuivantesdeM3(R) : √ √ 5 2 23 12 1√ √ S5 2= 2, P=√ −3 12 √ 6 2 2 50−2 2 (a) JustifierqueSest diagonalisable dansM3(R). t (b) Montrerqu’il existe une matrice diagonaleDdeM3(R) telle queS=P DP. 2 1 0 2.Onconside`relamatriceM=021deM3(R). 1 0 2 3 (a)V´erifierque(M−2I3) =I3. (b)Mest-elle diagonalisable dansM3(R)? t (c) Calculerle produitM M. 1
Partie II. n Soit A une matrice deMn(R). On note f l’endomorphisme deRassoci´e`alamatirecAaalt`rletavimene n t baseBetgl’endomorphisme deRci´eassomatr`alacieAela`tsabarlemenetaviB. 2 n 1. Montrer,pour toutxet toutydeR:< g(y),x >=< y,f(x)>puis<(g◦f)(x),x >=kf(x)k. 2. Montrerque l’endomorphismeg◦fique.´etrtsymes 3. Montrerqueg◦fest diagonalisable et que ses valeurs propres sont positives ou nulles. 0 00 0n 4. Justifierl’existence d’une base orthonormaleB= (e ,e ,...,e) deReveceesditu´onstcserporpsruet 1 2n deg◦f. 0 On noteQla matrice de passage de la baseBbase`alaB. 5. Montrerl’existence dennlusoeuefssiptoir´lsλ1,λ2,...,λnemensairtinctdisleqsstt)eualn(sece´nno µ0∙ ∙ ∙0 1 . . 0µ.. 2t2t matrice diagonale Δ =deMn(R:efiire´)vAA=QΔQ. . . . . .0. . 0∙ ∙ ∙0µ n 0 00 6. Montrerque la famille (f(e),f(e),...,f(e)) est une famille orthogonale et que pour tout entierjde 1 2n 0 {1,2,...,n},f(e) =λj. j 7. Danscette question, on suppose queAest inversible. (a)Ve´rifierquelesnombresr´eelsλ1,λ2,...,λnsont tous non nuls. 1 11 n (b) Montrerque la familleC=f(e1), f(e2),..., f(enune base orthonormale de) estR. µ µµ 1 2n t (c) SoitRla matrice de passage de la baseBesabala`C. Montrer queA=RΔQ.
Partie III. D´eterminerdeuxmatricesorthogonalesQetRd’ordre 3 et une matrice diagonale Δ d’ordre 3 telles que: t M=RΔQou`Mnadeessfieinec´dtairltmaI.2.
Proble`me2 Danstoutceproble`me,aseutrne´eltelque0< a <1.
Calculd’unesommeetd’uneint´egrale. n P × 1. Pourtout n deNet toutxde [0,+∞], on note:Cn(x) =cos(kx). k=1 n P ×ikx (a) Montrer,pour toutndeNet toutxde [0,+∞]: 1+ 2Cn(x) =e. k=−n 2n+1 n P1−z k−n (b) Etablir,pour tout nombre complexeztel quez6:= 1z=z. k=−n1−z 1 sinn+x 1 2 × (c)Ende´duire,pourtoutndeNet toutxde ]0,+∞+] :Cn(x) = x 2 2 sin 2 1 sin n+x π R 2 × 2. SoitndansNtronquer’ieeJla´legnrtM.n= dxexiste et calculer sa valeur. x 2 sin 0 2 0 six= 0 cos(ax)−1 On noteω: [0,+∞]→Rl’plapr:nfie´apeitacidnoiω(x) = six∈]0,+∞] x sin( ) 2 2
10 3. Montrerqueωest de classeCsur [0,+∞] et calculerω(0). π R1 × 4. Onnote, pour toutndeN:In=ϕ(x) sinn+x dx. 02 Montrer,graˆce`auneint´egrationparparties,queIntend vers 0 quand l’entierntend vers l’infini.
Calculdelasommed’unese´rie. π R × On note, pour n∈N:un= cos(ax) cos(nx)dx. 0 n Psin(aπ) 1 × 1. Montrer,pour toutn∈N:uk=−+In+Jn. k=12a2 P 2.End´eduirequelase´rieunatsdeleerisilltsu´esrno(emmostuarruopetcarge,ersalculnoevcI.2.et n>1 I.4.). × 3. Calculer,pour toutn∈N,unen fonction deaet den. n−1 +∞ P2(−1)a π1 4. Etablir: =−. n=1n−a sin(aπ)a Calculd’uneinte´grale. Dans cette partie,αuqe´digesunneeer´elltα >1. +∞ Rdt 1.Justifierl’existencedel’inte´grale. α 1 +t 0 +∞1 +∞ RdtRdtRdt On note:F(α) =,G(α) =,H(α) =. α αα 01 +t01 +t11 +t 2. (n+1)α n 1Pt k kαn+1 (a)Montrer,pourtoutr´eeltde [0,1] et toutndeN: =(−1)t+ (−1) . α α 1 +tk=01 +t 1 (n+1)α Rt (b) Montrerquedttend vers 0 lorsque l’entierntend vers l’infini. α 1 +t 0 k k +∞ P(−1)P(−1) (c)Ende´duirequelas´erieconvergeetque:G(α) = 1 +kα1 +kα k>0k=0 3. 1−α (a)Enutilisantlechangementdevariablede´finiparu=t, montrer: 1α H(α) =G , α−1α−1 etend´eduire +∞ n−1 X (−1) H(α) = nα−1 n=1 n−1 +∞ P2(−1) (b) Etablir:F(α) = 1 +. n=1nα−1 π α 4.Enutilisantler´esultatdeIIatlb,.e´lamerinfient:.4F(α) = . π sin α