Mathématiques 2000 Concours GEIPI

Pavan

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Concours du Supérieur Concours GEIPI. Sujet de Mathématiques 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2000 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2000

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 09 août 2008
• Nombre de lectures: 66
• Langue: Français

Extrait

  Terminale S

 

 

             Correction dans       .  

     Partie A

 

 

mai 2000

 

; +∞ dans [R dg x)= x 2x + 2 1 −ln(x 2 +1) où ln désigne la On considère l'applicationde [0 éfinie par( 2 fonction logarithme népérien. 1. a. Déterminer la limite de() quandtend vers +∞. b. Calculer la dérivée deet donner le tableau de variation de. 2. a. Montrer que, sur l'intervalle [1 ; +∞[, l'équation() = 0 admet une solution unique α   b. Donner une valeur approchée de α à 10 −1 près et justifier la réponse. + 3. Préciser le signe desurR. Partie B

Soit la ; + fonction définie sur [0∞ [ parf(x)= ln(x 2 +  is  )1 x>0,f(0)=0 et soit (C) la courbe x  représentative dedans un repère orthonormalO;i,j.

1. a. Calculerlim f(x)−f(0) . Déterminer une équation de la tangente T 0 à (C) au point d'abscisse 0. x→0 x b. Montrer quelimf(x)=0et quelimf(x)=0. x→0x→+∞ 2. a. Calculer'() et donner une relation liant’() et() pour> 0 . b. Soit α le réel défini à la question A. 2.a. Établir quef( α )= α 2 2 α +1 . c. Donner le tableau de variation deet tracer la courbe (C). Partie C

x On considère la fonctiondéfinie sur [ 1 ; +∞[ parF(x)=f(t)dt. 1

1. Montrer que, pour toutde l’intervalle [ 1 ; +∞[,ln(x 2 )<ln(x 2 +1). En déduire le réeltel que, pour A lnx < ln(x 2 +1) . > 1,.    x x 2. Calculer, pourx≥1, l'intégraleI(x)= x lnt dt. On explicitera le calcul et on trouvera() de la forme 1 t () =
(ln) ! . 3. a. A l'aide des questions C.1. et C.2., déterminer une fonction ϕ telle que, pour toutx≥1, ϕ (x)≤F(x). b. En déduire la limite de() quandtend vers +∞. Justifier la réponse. 4. Déterminer la dérivée'() de() et donner le tableau de variation de la fonction 

    

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  On considère le tétraèdre
"#ci<contre ; on notele milieu de [
] et$le milieu de ["#]. 1. a. Soit% 1  udnecy ert bar, le ; (#}. , 1) sètsytsin  dmepoe  D pondérés {(,1) ; (
, 1) ; (", –1)   ExprimerIG 1 en fonction deCD. b. Soit% 2 le barycentre du système de points pondérés {(, 1) ; (
, 1) ; (#, 2)}.   ExprimerIG 2 en fonction deID. En déduire la position de% 2 par rapport aux pointet#.    c. ExprimerJG 1 en fonction deCI. En déduireG 2 G 1   en fonction deG  2  J. Préciser la position de% 2  par A C rapport aux points% 1 et$. d. Compléter la figure ci<contre en y plaçant les points ,$,% 1 ,% 2 . 2. Soit&un réel. On note% & le barycentre du système de points pondérés {(, 1) ; (
, 1) ; (",&– 2) ; (#,&)} quand il existe. a. Préciser l'ensemble (E) des valeurs de& pour lesquelles le barycentre% &  Dans les questions existe. qui suivent, on suppose que&appartient à (E).    b. Déterminer, en fonction de&, les réelset'tels quemIG m =aIC+bID. On donnera le détail du calcul. En déduire que% & appartient à un plan fixe (P). On donnera trois points définissant ce plan.  c. Vérifier quem JG m égal à un vecteur constant, que l'on précisera.est d. En déduire l'ensemble (F) des points% & du plan (P) lorsque&décrit (E).

B

     Une urne U contient quatre boules noires et deux boules blanches. On tire simultanément deux boules dans l'urne. 1. a. Quelle est la probabilité  d'obtenir deux boules noires ? b. Quelle est la probabilité '' d'obtenir deux boules blanches ? c. Quelle est la probabilité ' d'obtenir deux boules de couleurs différentes ? 2. Un jeu se déroule selon la règle suivante : le joueur tire simultanément deux boules dans l'urne U qui contient quatre boules noires et deux boules blanches.  

Si les deux boules sont noires, le joueur gagnefrancs (> 0) et le jeu s'arrête. Si les deux boules sont blanches, le joueur perd 6francs et le jeu s'arrête. Si les deux boules sont de couleurs différentes alors il ne remet pas les boules dans l'urne et tire une seconde fois simultanément deux boules de l'urne - si les deux boules tirées sont noires, il gagne' francs (on suppose'>0,b≠a) et le jeu s'arrête, - sinon, il perd 3 francs et le jeu s'arrête. On désigne par% la variable aléatoire dont les valeurs sont égales aux gains (positifs ou négatifs) du joueur. a. Faire un arbre correspondant à tous les gains possibles. b. Quelle est la probabilité( tirer deux boules noires au second tirage, sachant que l'on a tiré deux de boules de couleurs différentes au premier tirage ? c. Quelle est la probabilité(%=') de gagner'francs ? d. Faire un tableau définissant la loi de probabilité de la variable aléatoire%.

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  e. Exprimer en fonction de' l'espérance mathématique E(%) de la variable aléatoire%. Pour quelle valeur de'le jeu est<il équitable, c'est<à<dire E(%) = 0 ? f. Pour la valeur de'ainsi trouvée calculer, en fonction de, l'écart<type σ G(a) de la variable%.

    

π Le but de l'exercice est le calcul de l'intégraleK= ∫ 0 4 (cos θ ).ln (cos θ )d où ln désigne la fonction logarithme népérien. 2 = 1. On considère l'applicationde ]–1 ; +1[ dansdéfinie parf(u 1 ) u u 2 . − Déterminer les réels,'ettels que, pour toutappartenant à ] –1 ; + 1 [,f(u)=a+ 1+ b u + 1− c u . x –1 ;+1[,F (( ) ). 2. On pose, pourdans ]x= ∫ 0 f u du

a. Calculer(). b. Exprimer'() à l'aide de(). 3. On pose, pour θ ∈    − 2 π 2 ; π    ,g( θ )=F(sin ). Calculer'( θ ). On donnera le détail du calcul de'( θ ) et on constatera queg'( θ )A nis cos 2 θ θ =où un est entier positif. π sin I θ d θ  4. En déduire la valeur de l'intégrale= ∫ 0 4 cos 2 θ . 5. A l'aide d'une intégration par parties et de la valeur de, calculer l'intégrale). On posera u( θ )=ln (cos θ ),v'( θ )=coset on donnera le détail du calcul.

     Le plan complexe P étant rapporté à un repère orthonormé direct(O;u,v  ), on appelle : le point d'affixe 1,

 1 l'ensemble−{1}, P 1 le plan P privé du point A, P + P ayant une ordonnée positive ou nulle,le demi<plan formé par les points de P − l'ensemble des points de P dont l'ordonnée est négative ou nulle. Soitl'application de, dansdéfinie parf(z)= z 1 −1 et soit T l'application de P 1 dans P qui, au point &d'affixe*, associe le pointd'affixe+=(*).

1. a. On poseZ 0 =f(4+i3). Donner l'expression algébrique et la forme exponentielle de+ 0 . b. Déterminer les complexes* 1  et* 2  l'équation vérifiant(*) = –*. Donner les formes algébriques et exponentielles de* 1 et* 2 . 2. On considère les points&(*) et(+) où+=(*). a. Exprimer et arg+en fonction dez−1et arg(*– 1). b. On suppose que le point& au cercle (C) de centre appartient et de rayon, En. Déterminer . déduire queappartient à un cercle (C') dont on précisera le centre et le rayon.

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  c. Soit (C 1 ) le demi<cercle intersection de (C) et du demi<planP − et&(*) un point de (C 1 ). Que peut<on dire de arg(*– 1) ? En déduire une courbe (C' 1 ) à laquelle appartient le point, où= T(&). 3. On pose*=+-et+=.+/, où,-,.,/sont des réels et+=(*). a. Exprimer.et/en fonction deet-  b. Quel est l'ensemble E des valeurs de*pour lesquelles(*) est réel ? c. Quel est l'ensemble F des points&tels que T(&) appartienne à la droite(O,v)?

4. On considère la droite (D) d'é tion 1 . Soit&le point de la droite (D) ayant pour ordonnée- ua   = q 2 a. Quelle est l'affixe*de&? b. Soit+=(*). Exprimer+en fonction de-  c. Soitle point d'affixe+et
le point d'affixe – 1. Calculer
. En déduire que le pointappartient à un cercle (G) dont on donnera une équation cartésienne.

5. On considère, pourdans l’intervalle [ –1 ; +1 [ , la courbe (γ) d'équation :y=

1−x 2 .

a. Quelle est la nature géométrique de (γ) ? l'application de [ –1 ; +1 [ dansRdéfinie par x x lculer ϕ  (). Donner le tableau ' b. Soit ϕ   ϕ ( )= 1 1 − + x . Ca de variations de la fonction ϕ . Quelle est l'image par ϕ de l'intervalle [–1 ; +1[ ?

c. On considère le point&de (γ) d'affixez=x+i1−x 2 , ∈[ –1 ; +1 [.

Soit= T(&),d'affixe+=.+/.  α. Calculer.. En déduire que le pointappartient à une courbe (Δ) que l'on précisera.  β. Exprimer/en fonction de ϕ (). En déduire T(γ) , image par T de la courbe (γ).  

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