Mathématiques 2001 Classe Prepa HEC (ECO) Concours Ecricome

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Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2001 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2001

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

ECRICOME Banqued’´epreuvese´critescommunesauxconcoursdesEcoles ESC Bordeaux, ESC Marseille-Provence ESC Reims, ESC Rouen, ICN Nancy

CONCOURS D’ADMISSION 2001

Option´economique ´ MATHEMATIQUES Mardi24avril2001de8h00`a12h00 Dur´ee:4heures

Aucuninstrumentdecalculn’estautorise´. Aucundocumentn’estautorise´.

Lescandidatssontinvit´esa`soignerlapre´sentationdeleurcopie,a`mettreen´evidencelesprin- cipauxre´sultats,a`respecterlesnotationsdel’´enonc´e,eta`donnerdesd´emonstrationscomple`tes (maisbre`ves)deleursaffirmations.

1. EXERCICE. Danscetexerciceon´etudiel’e´volutionaucoursdutempsd’untitredansuneboursedevaleurs. 1.1.Lebutdelapremie`repartieestdecalculerlespuissancessuccessivesdelamatrice:   1−2a aa   M(a) = a1−2a a a a1−2a ou`aree´le.uennmorbntse´eprre 1.Montrerque,pourtousre´elsa,b, on a :M(a).M(b) =M(a+b−3ab). 2.End´eduirelesvaleursdeapour lesquelles la matriceM(a) est inversible et exprimer son inverse. 3. Justifierle fait queM(a) est diagonalisable. 4.De´terminerler´eela 0 non nul, tel que : 2 [M(a 0 )] =M(a 0 )

5.Onconside`relesmatrices: P=M(a 0 ) etQ=I−P o`uIer3´.eeunit´terdi’coercdarrgienalam´dse

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(a)Montrerqu’ilexisteunr´eelα, que l’on exprimera en fonction dea, tel que : M(a) =P+αQ 2 2 (b) CalculerP,QP,P Q,Q. n (c) Pourtout entier natureln, non nul, montrer que [M(aede])’se´rctiocmmcemobinaisonlin´eairP etQ. n (d) Expliciteralors la matrice [M(a)] . ´ 1.2. Evolutiond’un titre boursier au cours du temps.   2 Dans la suite de l’exercice, on suppose quea∈0,. 3 1.Ond´efinitdessuites(p n ) n∈N , (q n ) n∈N , (r n ) n∈N par leur premier termep 1 ,q 1 ,r 1 , et les relations de ∗ ∗ ∗ re´currence:   p n+1 = (1−2a)p n +aq n +ar n  q n+1 =ap n + (1−2a)q n +ar n   r n+1 =ap n +aq n + (1−2a)r n (a) Exprimerp n ,q n ,r n en fonction den,p 1 ,q 1 ,r 1 . ´ (b) Etudierla convergence de ces suites. 2.Dansuneboursedevaleurs,untitredonne´peutmonter,resterstable,oubaisser.Dansunmode`le mathe´matique,onconsid`ereque: – lepremier jour le titre est stable; 2 – si un journ, le titre monte, le journacl+li,1tnomaarelcevaprobabilit´e,ertsresaatlbaeev 3 1 1 probabilite´,etbaisseraaveclaprobabilit´e; 6 6 1 – siun journ, le titre est stable, le journalcevaelonlmrate,i+1bobalitivacealrpterastab´e,res 6 2 1 probabilit´e,etbaisseraaveclaprobabilit´e; 3 6 1 – si un journ, le titre baisse, le journr,e´titsaretselaecavrailabobpr1+noeti,mlableavecla 6 1 2 probabilite´,etbaisseraaveclaprobabilit´e. 6 3 On noteM n (respectivementS n , respectivementB n mo´enndoreitet“ltnemene´ve´’l)ntceitevemtn(eerps reste stable, respectivement baisse) le jour n”. (a)Exprimerlesprobabilite´sdehausse,destabilit´e,etdebaisseaujournfoentincdeonsmceemeˆs1+ probabilite´saujourn. (b)Ende´duirelesprobabilite´sdehausse,destabilit´e,etdebaisseaujourn. (c)Quellessontleslimitesdecesprobabilit´eslorsquen?tend vers l’infini

2. EXERCICE. Unsyst`emeestconstitu´edenpmsonastocires´lasotaeiravelbaquseeselns.OpoupT 1 , T 2 , . . . , T n mesurant le temps de bon fonctionnement de chacun desnocependantes,demˆepmsonastostnni´dtienleelolemal,ieiolnopx deparame`treλ >0. 2.1.Calculdunombremoyendecomposantsde´faillantsentrelesinstants0ett. On noteN t entsanllaiefd´tse0stnatsniselerttbairlaelaval´egaleau´eatoireocpmsonaonbmeredtavect>0. 1. Pourtous les entierside{1,2, . . . , n}lac,lecuaprlbarolibi´tdele´’vee´enemnt{T i < t}. 2. MontrerqueN t solenutiumiˆoinib´ePre.alsrseices`mteapartsonreseeranesp´ceE(N t ). ` 3. Apartir de quel instantt 0 rembite´udoni-llmaioepasse-tllantsd´iafe´dstnasopmocdeenoyembromenl de composants? 2.2.Montageens´erie. Onsupposequelesyst`emefonctionnecorrectementsitouslescomposantseux-mˆemesfonctionnentcorrecte- ment et noteS n aravblial´eatoealeme.yst`tdusemenemettlanuresemirnnoitcnofnobedsp

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1. Pourt∈Rerim´el’env´enemt,xerp{S n > t}´ev´ndesentseneme:nofnoitc

{T 1 > t},{T 2 > t}, .. .{T n > t}. 2.D´etermineralorslafonctiondere´partitionF n , deS n ,psduiedsntie´e´nfiriasf n . 3. Reconnaˆıtrela loi deS n esl’ullccanssaernnodtenaec´preE(S n ) et la varianceV(S n ) deS n . 2.3.Montageenparalle`le. Onsupposemaintenantquelesyst`emefonctionnecorrectementsil’unaumoinsdescomposantsfonctionne correctement et noteU n .esusy`tmeraailvaemestoirl´eableaobedspmeteltnarutdenemnnioctonnf 1. Exprimer{U n < t}e´veemennoit´sedenfoncsnt{T 1 < t},{T 2 < t}, .. .{T n < t}. 2.D´etermineralorslafonctionder´epartitionG n deU n ontrerquesadensi´temsiupg n :arets´dfieinpe (   n−1 −λt−λt g n (t) =nλ1−e e, t>0 g n (t) = 0<, t0 3.Montrerl’existencedel’esp´eranceE(U n ) deU n et prouver que : n−1 X k 1 (−1) k+1 E(U n ) =C n λ k+ 1 k=0 puis, que pour tous entiers naturelsn, 1 E(U n+1 )−E(U n ) = λ(n+ 1) 4.Parsommationdelarelationpre´ce´dente,etenutilisantl’´equivalentsimple: n X 1 ∼lnn n→+∞ k k=1 donnerun´equivalentsimpledeE(U n ) lorsquentend vers +∞. 3. EXERCICE. Onde´signeparnun entier naturel non nul etaelstnr´eemenrictfitisoptu. Onseproposed’´etudierlesracinesdel’´equation: 1 11 1 (E n + + +) :. . .+ =a x x+ 1x+ 2x+ 2n ` A cet effet, on introduit la fonctionf n ailbvarad,leleel´eerxiefin´ed:rap 1 11 1 f n (x) =+ + +∙ ∙ ∙+−a x x+ 1x+ 2x+ 2n ´ 3.1. Etuded’un cas particulier. 11 Pour cette question seulement, on prenda= etn= 1. 6 1.Repre´senterlafonctionf 1 revemelatierp`rteo`antreunlpud.naonohlamr (unit´egraphique2cm) 2. Calculerf 1 (inrmte´esdui,p1)(edsenicarselreE 1 ). √ −2 (On donne37 = 6,asfetaupdpre`´r1a00)`8 3.2.De´nombrementdesracinesde(E n ). 1. Dresserle tableau de variations def n . 2.Justifierl’existencederacinesdel’´equation(E n .btmee)relenoinertermnd´e

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