ESC 2002.math. Option scientifique. EXERCICE 1 On rappelle que lorsqueYvarituneal´eableerdataionautemtterp´esneceanseE(Yace´nute)-tr Y−E(Y) ? ? type non nulσY, on noteYlecentr´lavariabsaeticos´reeiudee`´eaYfin´epaie,rdY= . σY Soitnun entier naturel non nul. Onconsid`erennadnsetaatle´esrbeloiianadrsivpe´eX1, X2, . . . , Xnemol,ite,suivantlamˆe admettantuneesp´erancenote´emute-trace´nfionsoti´testritypeentpctemσ. Onpose´egalementSn=X1+X2+∙ ∙ ∙+Xn. EnfinonnoteΦlafonctionder´epartitiond’unevariablesuivantlaloinormalecentr´eer´eduite. 1)a)Montrer queSnxpseleetnfremeridnoitcnoeetunadm´eraeesputencneenaecavirn,m etσ. ? n f b)End´eduirel’exrpseisnoedSndee onctionSn. Dans la suite de l’exercice, on pose pour tout entier naturelntuotruoptelunnonleer´β: ? β |< n) pn,β=P(|Sn Oncherche`a´etudierlalimitedelasuite(pn,β)n∈Ndieffassdsrce´ntee.uarnfigd ∗ 2)On supposeβ= 0. a)medeoe`rmitilelaergrontruth´aceaMenec´etrueeqmlipn,0= Φ(1)−Φ(−1). n→+∞ b)elruparpco´heeedDonneruneva)(1eΦnnodnO(etimilettec'0.8413 ). 3)On supposeβ >0. 1 β+ 2 a)Montrer quepn,β=P|Sn−nm|< σ.n. 1 b)eevnqauyem´e-iTtc´heedbyecBhii’´ngelalisinaltertrutenonMpn,β≥1−2β. n c)itimeledirdualelEdne´iusa(etpn,β)n∈N. ∗ 4)On suppose ici queβ <0, et queX1, X2, . . . , Xnee´rdeiuet.lantveuis´rtnecelamroniol ? ? a)Quelle est la loi de la variableSn? de la variableSn β b)Montrer que pour tout entier naturelnnon nul,pn,β= 2Φ(n)−Φ(0) . c)neΦeeuq0iunide´tlantntcotinusali:rleirmentMopn,β= 0. n→+∞ r 2 β d):euq,0neΦede´tlibivari´eadtlannetulisiMnortrepn,β∼.n. n→+∞ π EXERCICE 2 2 SoitEl’ensemble des suites (an)n∈Ndeeer´telsetermeg´en´eralllseuqlesae´irdeaconverge. n Danscet´enonc´eonemploielanotationaesigurd´nesuinteeruop(an)n∈Nr´eedesl. 1)a)Montrer queEest un espace vectoriel surR. b)elnonnulrtoutr´euoPαitsuedie`eral,noocsnu(α´e)diefin:rap n α ∀n∈N, un(α) =√ n! V´erifierquelessuitesu(αe´le´sededstnemsont)E. 2)a)Montrer que siaetbsno´tlee´emntsdeEeireetedgemr´ne´aler,alorslas´anbnest absolument convergente. b)cilppa’lΦtioSsurfiniend´eatioE×Enasrudsavela`Rpar : +∞ X ∀(a, b)∈E×E,Φ((a, b)) =anbn n=0 Montrer que Φ est un produit scalaire surE. On notera alorsha, bi= Φ(a, b), et||.||2i´eessoc`aΦ.mraealon
v v +∞+∞+∞ XuXuX t2t2 c)Montrer que pour toutes suitesaetbde E,anbn≤a b. n n n=0n=0n=0 d)lee´rtuotrourpnemieretD´αla norme||u(α)||2eeslruotsu´r,etpoαetβdistincts, le produit scalairehu(α), u(β)i. e)toecevacdeelriudelanogpse-suosunebinerrthoaseoetmrDe´Eilleegnnerde´aplrfama u(−1), u(1), u(2) . 3)Pour tout entier naturelk:itfin´end,ounlonn Fkllesr´eeitesussedelbmesne’latelles que : pour tout entiern≥k,an= 0 Gkeslesr´eellsedetiussne’lbmeadeEtelles que : pour tout entiern≤k−1, an= 0. a)Montrer queFk⊂E, et queFkest un sous-espace vectoriel deE. b)te´DimrerunebanedeseFket donner la dimension deFk. c)Montrer queGkest un sous-espace vectoriel deE. d)Soitaune suite deE. Montrer qu’il existe deux suitesretstelles que : r∈Fk, s∈Gket pour tout entier natureln,an=rn+sn End´eduirequeFketGkupss´eplesescepatrosogohtnemeriaoduileprpournauxsnodtt scalaire Φ. 1 e)teuiaselquertr´le´nutsenMemneoedtE. n+1n∈N De´terminersonprojete´orthogonalsurFkpour le produit scalaire Φ. EXERCICE 3
Partie 1 −t Soitgncfola´dfieitnoruinseR+par :g(t) =telouprotu´etertpositif. 1)a)Etudier la fonctiongsurR+. 4 b)uqpeuotrMnortrefitisoptneemctristel´etrout,g(t)≤. 2 te 1 2)Montrer que pour tout entierne´irspu´ugeueor3,l’al`aatio´equng(t) =admet exactement n 0 0 < ρ. deuxsolutionsnot´eesρnetρn et telles que : 0< ρn<1n 3)a)Montrer que la suite (ρn)n≥3converge et que sa limite est 0. 1 b)Montrer queρn∼. n +∞ 0 c)Montrer que la suite (ρ)n≥3diverge. n Partie 2 2 Soitfontiefid´lancfoseinruRavas`rnuaedlsR´d:rapeinfie 1 − 2 2 x+4y e f((x, ysi ()) =x, y)6= (0,0) etf(0,0) = 0. 2 2 x+ 4y 1 2 1)a)Montrer quefest de classeCsurR\ {(0,0)}. b)Montrer en utilisant la question 1.b de la partie 1 quefest continue en (0,0). 2 c)dselearspeltiri´eeev´eldsnireetmrDe´fsurR\ {(0,0)}. 1 2 d)Montrer quefest de classeCsurR. 2)Montrer que (x, y) est un point critique pourfe’c(sureepsc-`stdia-nuxeteerdeˆ’itlbumtrem 2 2 pourf) si et seulement si :x+ 4y= 1 ou (x, y) = (0,0). 3)En utilisant la fonctionged´eslanreap`emiapereitre´utid a)Trouver le minimum global defainsi que l’ensemblePdeslntoispsilae´re.tna b)Trouver le maximum global defainsi que l’ensembleEalisant.ntsler´eedpsio 2
2 4)On note pour tout entiernl`a3:urou´ega´puseireEnl’ensemble des points (x, y)∈Rtels 1 quef(x, y) =. n 1 2 Onnote´egalementDla demi-droite deR:rdeiape´nfiD= (x, y)/x≥0 ety=x. 2 ( s s!) rr 1 21 21 21 2 0 Montrer queE∩D=, ,,ont l nou`ρnetρnvaleurss es 0 0 2ρn4ρn2ρ4ρ n n d´efiniesdanslaquestion2delapartie1.