Mathématiques 2003 Classe Prepa HEC (ECS) EM Lyon

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Examen du Supérieur EM Lyon. Sujet de Mathématiques 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2003 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2003

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 768
• Langue: Français

Extrait

E.M.Lyon. Math 1 . Option S. 2003

PROBLEME 1

Onconside`rel’applicationϕ+: [0;∞[→Rnie,d´efiottuoprul´reet∈[0; +∞[, par : ( sint sit6= 0 ϕ(t) = t 1 sit= 0 etonconsid`ere,pourtoutentiern>rge´selael,1tnis: Z ZZ +∞1 +∞   n   n   n I n =ϕ(t) dt, J n =ϕ(t) dt, K n =ϕ(t) dt 0 01 PartieI:Re´sultatsge´n´erauxsurϕetJ n 1)Montrer queϕ+est continue sur [0;∞[ et que, pour tout entiern>1l,gr´ent’iealJ n existe. 2)a)Montrer queϕ1] et queest strictement positive sur [0;ϕoicranssenem´etdtststciretuser [0; 1]. ´ b)urtoutr´ablir,potEleet∈]0,+∞[ :|ϕ(t)|<1. 3)a)ertronMlerte´truop,uot∈[0; +∞[ :ϕ(t)>1−t. 2 (Onpourra´etudierlesvariationssur[0;+∞[ de l’applicationt7→sint−t+t). 1 b)End´eduirep,uotruoettneirn>1 :J n >. n+ 1 ´ Partie II : Etude deI 1 Z Z x x sintcosxcost 1)a)ruot,roptneroMeelutr´x∈[1; +∞d[ :t1= cos− −dt. 2 t xt 1 1 b)deiueruqnE´degraleselesint´K 1 etI 1 sont convergentes.   1 2 2)a)tMoourrpeonrt,leer´utt∈[0; +∞[ :|sint|>sint= 1−cos(2t) . 2 Z +∞ cos(2t) b)Mnouqldertrent’igr´eealtconverge. 2t 1 c)edxuuqseitnops´rD´eduiredesealgr´enti’leuqsetnede´ceI 1 n’est pas absolument convergente.

´ Partie III : Etude deI n , pourn>2

1)a)Montrer que, pour tout entiern>int´egrale2,l’K n est convergente. 1 ´ b)Etablir, pour tout entiern>2 :|K n |6 n−1 2)a)Montrer que la suite (J n ) n>2 e.ntsaorsi´dceets b)Montrer que la suite (J n ) n>2 on noteconverge ;`sa limite. ´ c)Etablir, pour tout entiern>tt2etrouel´ea∈:]0; 1[ Z Z a1   n   n   n ϕ(t) dt6aetϕ(t) dt6(1−a)ϕ(a) 0a (On pourra utiliser I.2.). d)uotre´rteriuuop,Enedd´ela∈: 0]0; 1[6`6aet conclure :`= 0. 3)a)Montrer que, pour tout entiern>l,2ale´egr’intI n est convergente. ´ b)limEtablir :I n = 0. n→+∞

´ PartieIV:Etudedelas´eriedetermeg´ene´ralI n ,n>2 1)Montrer, pour tout entierp>1 :K 2p +K 2p+1 >0. 2)´eendtuiierre,pourtEonudtN>1 : N N X X (I 2p +I 2p+1 )>(J 2p +J 2p+1 ) p=1p=1 X 3)ude´qeridnEies´eruelaI n diverge. (On pourra utiliser I.3.b.). n>2

PROBLEME 2

Danstoutleprobl`eme,nstunentiernaturee`aalet2,puslire´oruege´uEest un espace euclidien de dimensionn´eottntlepdoncstiudorseerialah., .i´ecisteeamnetolrsoeas´tonee||.||. On note ˜ id E l’application identique deE, et 0 l’application nulle deE. ⊥ SiFest un sous-espace vectoriel deE, on noteFsel-suoapseevecorctlsieplupme´etniaer orthogonal deFdans E. ⊥ Le projecteur deEsurFmele`ellarap`antFeslee´atppceetrpjothogurorsuronalF. Pour tout endomorphismefdeEet toute valeur propreλdef, on noteE f (λ) le sous-espace propre def´i`elavaasscoepreualrorpλ. PartieI:Inversege´ne´ralis´ed’unendomorphismesym´etrique Onconside`reunendomorphismesym´etriquefdeEc’est-`a-direunemodnhproemsi,ftel que : 2 ∀(x, y)∈E ,hf(x), yi=hx, f(y)i On suppose de plus quefest non inversible et non nul. 1)Montrer que 0 est valeur propre defet quefadmet au-moins une valeur propre non nulle. 2)a)Soientλetµdeux valeurs propres def. Montrer, pour tout vecteurxdeE f (λ) et pour tout vecteurydeE f (µ) : λhx, yi=µhx, yi b)End´eduirequelessuo-sseapecpsorpresdefuedatroxogohxuan.sontdeux` 3)Montrer que les sous-espaces vectoriels Imfet Kerflppustnoiatneme´hortsoredauxnagonss E. On suppose quefadmet exactementkprrsreop1v+eualdxueitsiuedsda`xsncteλ 0 , λ 1 , . . . , λ k aveck>1, λ 0 = 0 et 0<|λ 1 |6. . .6|λ k |. Pour tout entier natureljegu´`aalfniire´oruek, on notep j le projecteur orthogonal surE f (λ j ). 4)Soitxun vecteur deE. a)Montrer qu’il existe un unique (k(+ 1)-upletx 0 , x 1 . . . , x k ) deE f (0)×E f (λ 1 )× ∙ ∙ ∙ ×E f (λ k ) tel quex=x 0 +x 1 +. . .+x k . b)Pour tout entier natureljage´uorueire´fnil`ak, montrer :p j (x) =x j . Ainsi,larelationsuivanteestclairementv´erifie´e: id E =p 0 +p 1 +. . .+p k 5)a)Etablir, pour tout couple (i, j)d’entiersnatlerufnisire´srue´eouuxga`ak: ˜ i6=j=⇒p i ◦p j = 0 b)Montrer :f=λ 1 p 1 +λ 2 p 2 +∙ ∙ ∙+λ k p k . c)Montrer que le projecteur orthogonalpsur Imf:e´vrefii p=p 1 +p 2 +∙ ∙ ∙+p k 2

1 11 ] ] On notefl’endomorphisme deErapinfid´ef=p 1 +p 2 +∙ ∙ ∙+p k . λ 1 λ 2 λ k ] On dit quef’lnietseg´eversalisn´erde´ef. ] 6)a)Montrer :f◦f=p.   2] b)Ee´dnduire:∀(x, y)∈fE ,(x) =p(y)⇐⇒x−f(y)∈Kerf. 7)Soityun vecteur deE.   ] a)Montrer :∀x∈E,||f(x)−y||= inf||f(z)−y|| ⇐⇒x−f(y)∈Kerf z∈E ] b)euqeriud´edEnf(y) est le vecteurxdeErifiant:pldesuepitetonmrvee´ ||f(x)−y||= inf||f(z)−y|| z∈E

PartieII:Application`aunexemple Dans cette question,Eest un espace euclidien de dimension 4 etB= (e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) est une base orthonormale deE. On note :   3 0–1 0  –10 1 0  A=   –1 0 3 0 0 –10 1 Soitfl’endomorphisme deEco´iassamate`alriceAvitanemela`tsabaerelB. 1)Justifier quefsiernvninoetulnn.elbetsnuneodomprihsmesym´etriqueno 2)Montrer quefadmet exactement trois valeurs propres distinctesλ 0 , λ 1 , λ 2 avecλ 0 < λ 1 < λ 2 . On notep 1 le projecteur orthogonal surE f (λ 1 ) etM 1 soci´ee`atriceaslmaap 1 aalmevi`tnertale baseB. On notep 2 le projecteur orthogonal surE f (λ 2 ) etM 2 `aeei´ocssaecirtamalp 2 vteimleanrte`ala baseB. 3)Montrer :A= 2M 1 + 4M 2 . 4)a)Montrer queE f (λ 2 )dtsemidenuevnirertcueon1eensitermtd´ev 2 deE f (λ 2 ) tel que ||v 2 ||= 1. b)Montrer :∀x∈E, p 2 (x) =hx, v 2 iv 2 . c)eclrmataireretnemiD´M 2 . ] 5)Eelamatrind´eduira`ee´icossaecfrsaeabalt`enemivatelB.

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