Lescandidatssontinvit´es`asoignerlapre´sentationdeleurcopie,a`mettreene´videncelesprincipaux r´esultats,a`respecterlesnotationsdel’e´nonce´,et`adonnerdesde´monstrationscompl`etes(maisbre`ves) de leurs affirmations.
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Exercice 1 x Onconsid`erelafonctionfar:niepd´efif(x) =x+ 2−2 ln(eet on note (+ 1)Ce´estntarueberrpcola)ivedef dansunrepe`reorthonorrnal. u0= 0 Ond´efinitlasuite(un:) par un+1=f(un),∀n∈N Etude de la fonction f. 1. Justifierle fait quefed´stniefiuresR. −x 2. Montrerque pour toutx:r´eel,onaf(x) =−x+ 2−ln(e+ 1). Ende´duirequefest paire surR. 3.De´terminerlalimitedefquandxtend vers +∞. 4.De´montrerqueladroiteDitno:d´’qeauy=−xymptote`a+2estasCdierlapoet´etualocruebisitnoedC parrapport`al’asymptoteD. 0 0 5. Calculerf(x)o`ufesdeeev´e´iroidnnotcltfaf. 0 Etudier le signe defet donner le tableau de variations def. 6.D´eterminerlasolution,not´eeαitnoqeau,d’´elf(x) =x. x e 7. Montrerque pour toutxee´r:lf”(x) =−2 x2 (e+ 1) e−1 8.End´eduireque:∀x∈[0,1],|f”(x)|6 e+ 1 Convergence de la suite(un). −2 Ondonnelesvaleursapproche´esa`10pr`essuivantes: f(0)'0,61f(1)'0.37 ln(e−1)'0,54 1.Montrerparr´ecurrenceque:∀n∈N, un∈[0,1] e−1 n 2.Montrerparre´currenceque:∀n∈N,|un−α|6.( ) e+ 1 3.Ende´duirequelasuite(un´eelsunr)ecvoenrverges.re´ica`rp
4. Montrerque pour toutnnon nul:an+bn= 1. 1 1 Ende´duireque:bn+1=−bn+ 2 2 5. Exprimeralorsbnetanen fonction den.
Etudedelaloid’unevariableal´eatoireXn Unpointlumineuxsede´placesurlessommetsd’untriangle,note´sC0,C1,C2:selon le protocole suivant – -A l’instant 0, le point lumineux se situe enC0 –Si`al’instantn,n∈N,le point lumineux est enC0,tanstinl’`anil est en+ 1C1 1 × –Sia`l’instantn,n∈N, le point lumineux est enC1,tansnt`’ialnil est en+ 1C0vanalcebalirpboe,tie´ 4 1 1 C1veclababiapro,e´tilneC2abobprla´eitil.ceva 2 4 × –Sia`l’instantn,n∈N\{1}le point lumineux est enC2,l’`astintann+ 1il est enC1.
On appelleXne`aegalire´eato´laelbairavaliniueltmuopniiselale`ns’ietxsuvrotnatnsur le sommetCi, pour i∈ {0,1,2} P(Xn= 0) 1. OnnoteUn:la matrice unicolonneUn=P(Xn= 1)ou`P(Xn=iestl)babiapro´tilledeve´’ene´ntme P(Xn= 2) (Xn=i). Pre´ciserU0etU1. 2.Utiliserlaformuledesprobabilit´estotalesetmontrerque:Un+1=AUn n 3.End´eduirequepourtoutentiernnon nul:Un=A U0. Pr´eciserU2,puis montrer que:Un=anU2+bnU1. 4.End´eduirelesprobabilite´sP(Xn= 0),P(Xn= 1),P(Xn= 2) en fonction den,ainsi que leur limite quand ntend vers +∞. 5.Montrerquel’espe´rancedeXneenitspe´dadnedetnn.
Exercice 3 Soitnsup´erieurou´egauentneinrtarule:tneurneeuanenntcocnO.2a`lre`disno –uneboulenume´rote´e1. –deuxboulesnum´erot´ees2. – .. . . –nluobunseesm´erot´en. Epreuve 1 On tire une boule dans cette urne, on noteXbauodoleetunelboe.´mreelunattnseneepr´irereatoeal´lbairaval n Pn(n+ 1) 1.Montrerparr´ecurrence,quepourtoutentiernatureln>1, k= 2 k=1 2.D´eterminerlenombretotaldeboulesdansl’urne. 2 3.D´eterminerlaloideXuerqieulicrtpaenfiire´vrete:P(X=n) = n+ 1 n Pn(n+ 1)(2n+ 1) 2 4. Onrappelle que pour tout entiernnon nul:k= . 6 k=1 Calculerl’espe´rancedeXen fonction den.
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Epreuve 2 On tire maintenant 10 fois une boule avec remise dans cette urne, on noteYae´laelbairavalriotperese´ratnelent nombredefoiso`ul’onaobtenuuneboulenum´erot´een. 1.ReconnaıˆtrelaloideY. 2.Donnerlavaleurdel’esp´eranceetdelavariancedeY.