Mathématiques 2004 Classe Prepa HEC (ECS) EDHEC Lille

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Examen du Supérieur EDHEC Lille. Sujet de Mathématiques 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2004 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2004

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 148
• Langue: Français

Extrait

EDHEC 2004, option scientifique

EXERCICE 1 Dans tout l’exercice,Xbleaariatoirl´eaavtnseiudiPealoldeonssoietm`rapaertsevenuλ >0. 1)agil´t.ee`ernie´imerpenU 1 a)Montrer queP(|X−λ|>λ)6. λ 1 b)´dnE´t(e´einligauiedl’re∗) :P(X>2λ)6. λ 2)eam´i`erPremni’lednoitaroilee(t´liga´e∗). a)SoitYae´lriotsidee`rcevuniaareablitevesataytnnueete,`avaleursposincra´espe. On noteY(Ω) ={y 0 , y 1 , . . . , y n , . . .}. E(Y) Montrer, en minorantE(Y), que :∀a >0, P(Y>a)6. a 2 b)onncd`siOediscr`et´eatoireirbaellareueenavZceanrivadeetleulnecnare´pse’d,σ. Montrer que, pour tout couple (a, x) de ]0,+∞[×R + :   2 2 P(Z>a)6P(Z+x)>(a+x)

2 c)Enuaiqplape´ni’ltnoe´tilagbtenueen2.ae(`alavraailbae´laeotriZ+x) ,montrer que : 2 2 σ+x ∀a >0,∀x>0, P(Z>a)6 2 (a+x) 2 σ d)ue:ireq´eduEnd∀a >0, P(Z>a)6tcoineilrfanoudeta´rrounp(ofuqi,`a 2 2 σ+a 2 2 σ+x toutxdeR + , associe). 2 (a+x) 1 e)erisqtutec:eilUtuope´tilrertnomr`enieredga´einreP(X>2λ)6. λ+ 1 3)ueixDmae´e`emlagee´ti(orliioatelndn´’i∗). +∞ X k Pourtoutr´eelt, on poseG X (t) =P(X=k)t. k=0 λ(t−1) a)Justifier l’existence deG X (t) et montrer que :G X (t) = e. G X (t) b)Montrer que :∀t∈[1,+∞[,∀a >0, P(X>a)6 a t t−1 e c)nimumsuri[1nerlemiDe´etmr,+∞[ de la fonctiong:t7→. 2 t   λ e d)quree:d´EnuiedP(X>2λ)6. 4 4)edercettrquentrerotae´ilermaine`equrleilmestneioa`eunetboelleceualuqseitnooM2.esde` queλprend des valeur assez grandes.

EXERCICE 2 Z +∞ dt 1)On pose, lorsque c’est possible,f(x. Montrer que le domaine de) = x+1 1 +t+t 1 de´finitiondelafonctionfest ]0,+∞[. 2)Montrer quefssnaetusdte´rcioes0r],+∞[. Z +∞ dt 3)a)decnetsixe’lrefiistJuit´euantelaqg(x)ru0]inse´dfie,+∞[ parg(x.) = x t(1 +t) 1

x−1 1t b)Pour toutxde ]0,+∞[ et pour touttde [1,+∞[, simplifier−,upquire:´eisblta x t1 +t ln 2 ∀x∈]0,+∞[, g(x.) = x ln 2 c)requeduiEnd´:e∀x∈]0,+∞[,06f(x)6milrenimreetd´ispu,f(x). x x→+∞ ln 21 4)a)Montrer que :∀x∈]0,+∞[,06−f(x)6. x2x+ 1 + b)d´Enuiedlaremilietedf(x) quandxrs0ndveiqu’ainsetviuqe´nuedtnelaf(x) lorsquex + est au voisinage de 0. 5)Dresser le tableau de variation def. EXERCICE 3 Onconsid`eredeuxvariablesale´atoiresXetYapseecteslstoufinie,d´eeˆemlrmexuusseed probabilis´e(Ω,A, P0[rin),epd´neadtnseteusvinatlaloiuniformesu,1]. On poseZ=X+Y. 1)a)denerenudeeis´tDinrmte´eZ. b)Montrer que, pour toutxde ]0,st(mene´vnesee´1[,lZ >1) et (1−x < Z61 +x) sont inde´pendants. 2)On poseT= max(X, Y). On admet queTfie´deeintae´erioabrialletuesvanesuisllaeusr l’espaceprobabilis´e(Ω,A, P). a)Montrer queTtuesabrivaneededonnerunedensit´ela`edsntie´upsiT. b)ueeqEe´dnriudToscepaendesr`pn´eeesuE(Tet).renimrete´dal c)On poseU=|X−Y|et on admet queUsisurutense´ealoiatrivaleablleesuae´derinfie l’espaceprobabilise´(Ω,A, P). Montrer queUeridectseisnabiomean´lionZetT, puis en d´eduirel’esp´erancedeU. ` PROBLEME Danstoutleproble`me,lalettrenuter.l´designeunentierna Partie 1 n On noteE n leRotceleirfsedtcnonsioeer´esllcldesaes-espacevCsur [0,1]. En particulier,E 0 est leRse-tcevecapesldieorontincfoscontinusr´eelleseus[r0,1]. On noteNl’ensemble des fonctionsfdeE 2 plusntderifiae´vf(0) =f(1) = 0. Onconsid`erel’applicationudeNdansE 0 `u,oituaoqfetitcnnofdeNascisoadesri´e´veeesocdn,e 00 note´ef. 1)Montrer queNest un sous-espace vectoriel deE 2 . 2)Montrer queuappltuneionlicatse.ejeinivct´einreai Z 1 1 3)Soitg´nue´lementdeE 0 . Pour toutxde [0,1], on poseG(x) =|x−t|g(t) dt. 2 0 a)Justifier queGmentel´eest´edE 1 et montrer que : Z Z   x1 1 0 ∀x∈[0,1], G(x) =g(t) dt−g(t) dt 2 0x 00 b)ueeqirude´dnEGneedteeml´´estE 2 ineredte´etmrG. c)Pour toutxde [0,1], on poseH(x) =G(x) +ax+besr´nerlermiD´etee.slaetb(sous forme d’inte´grales)pourqueHeitrappanne`aN. d)D´etermnireu(Heuiedqureupsine´d)uest surjective. e)nsiostueduQe´duneop-etqsederiu2et3.d? 4)trtouirefiVe´p,uoqreux0[´eeentdl´em,1]. Z ZZ 1 11 1 1x −1 (u)(g)(x) =|x−t|g(t) dt−tg(t) dt−(1−2t)g(t) dt 2 22 0 00 2

Partie 2 On noteP n ’lsemonylopsnoitcnofesldieorctvecepae´irueorge´riefnellesdedialesr´eegu´`aaln. k Pour tout entier naturelkotruoptelee´rtux, on posee k (x) =xibnevace,ˆsrue 0 (x) = 1, et on rappelle queB= (e 0 , e 1 , . . . , e n ) est une base deP n . On noteN n le sous-espace vectoriel deP n de´etutinscoonylopsnoitcnofsesmialPr´eedegd infe´rieuroue´gal`anet telles queP(0) =P(1) = 0. k+1 Pour tout entier naturelktu´reelteopruotxon posef k (x) =x(x−1). 1)Montrer queC= (f 0 , f 1 , . . . , f n ) est une base deN n+2 . Onconside`rel’applicationline´airevdeN n+2 dansP n onefutto`ai,quctionPdeN n+2 00 associesade´riv´eeseconde,note´eP. 2)a)Pour toutkde[0, n]],drermin´etev(f k ) en fonction de certains des vecteurs deB, puis en de´duirelamatriceAdevrelativement aux basesCetB. b)requeEnd´eduivest un isomorphisme deN n+2 surP n . k X c)uortuotrrep,lpfiiimS´eelxet pour tout entier naturelk, la sommef j (x). j=0 d)querpplipuisici,qume`erideontieseitrapala’stuep1Justifierquelere´ustltaedaluqta −1 d´eterminer,enutilisantlere´sultatdelaquestion2.c, la matriceA. e)so`uadsnelacnr`ire,edeteetrcfieri´eVn= 2 (les calculs devront figurer sur la copie). 3)noanccitOd`eronsippliel’awqottuiua`eneml´´etPdeP n associew(Pu`o,)w(P)estlad´eriv´ee 2 secondedel’applicationqui`atoutre´elxassocie (x−x)P(x). a)Montrer quewest un endomorphisme deP n . b)Pour toutkde[0, nreete´nimr]],dw(e k ). c)edmatairecreuielquEnedd´wdansBn’est autre que la matriceAde la question2.a. d)L’endomorphismew? Est-ce un automorphisme deest-il diagonalisableP n ? e)Dans le casnrospesprde=2,d´eterminreelssuo-sseapecw.

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