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Mathématiques 2006 Classe Prepa ATS Concours ATS (Adaptation Technicien Supérieur)

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Concours du Supérieur Concours ATS (Adaptation Technicien Supérieur). Sujet de Mathématiques 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2006 sur Bankexam.fr.
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Soient les intégrales
Mathématiques
Durée : 3 heures.- Coefficient : 3 Les trois problèmes sont indépendants. La calculatrice personnelle est interdite.
Problème 1
et
.
1) Évaluer, déduisez-en une expression deincluant cette somme. 2) Montrer que lintégraleest convergente. 3) Montrer queet donner lexpression intégrale de.
4) Montrer que
. En déduire que la série
5) a- Montrer que pour tout entier naturelk,
b- Montrer que
c- Montrer que
d- Sachant que
, en déduire que
, montrer que
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est convergente, et que
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Problème 2
Partie I On considère lensemble des matrices à coefficients complexes, On noteIetJles matrices :
.
I.1) Calculer. I.2) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres (à coefficients complexes) de la matriceJ. On considère lensembledes matrices dede la formeaetbsont des nombres complexes. I.3) Calculeret . I.4) a- Montrer que siXest un vecteur propre pour la matriceJ, alorsXest aussi un vecteur propre de toute matriceMde . b- Déterminer les vecteurs propres et les valeurs propres ( que l'on exprimera en fonction deaetb )dune matriceMde . c- Les matrices desont-elles diagonalisables dans? I.5) Calculerpournentier naturel. Partie II Soient et deuxréels non nuls. On noteet lesfonctions numériques réelles définies par : désigne lensemble des fonctions : II.1) Montrer queest un espace vectoriel. II.2) Montrer queest une base de. II.3) Donner la dimension de. On considère lapplicationdéfinie surqui affonction dérivée deassocie ,f. II.4) Montrer queest un endomorphisme de. II.5) Donner la matriceM.la basede dans II.6) est-elleune application bijective devers ?Si oui donner. II.7) Donner un tripletde telque oudésigne la matrice nulle de. On peut remarquer que etutiliser le résultat de I.1 II.8) Montrer que toutes les fonctions devérifient une équation différentielle linéaire du second ordre que vous donnerez. II.9) Donner danslunique primitive Fde la fonction. II 10) En utilisant ce qui précède, calculer l'intégrale
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Problème 3 On considère les fonctionsxetyde vers définiespar : et 1) Montrer quexetysont périodiques de périodes à préciser. 2) Préciser les parités dexety. 3) Donner le tableau de variation conjoint des fonctionsxety sur l'intervalle 4) Donner sur votre copie le tableau de valeurs ci-dessous rempli : t0
5) Préciser la limite de
quandttend vers 0, puis quandttend vers
Soit leplan muni d'un repère orthonormé courbe paramétréepar :
. On se propose d'étudier et de tracer la
6) On appellela partie de la courbeobtenue en prenanttdans l'intervalle. Représenter sur une figure la courbeen plaçant avec soin les points correspondant aux valeurs 0,, ,, det, ainsi que les tangentes à la courbe en ces points (On peut prendre). 7) Montrer ques'obtient à partir deà l'aide d'une symétrie à préciser. Pour onnote et. 8) Démontrer que pour toutt deet sont, les vecteursorthogonaux. 9) Déterminer une représentation paramétrique de lensembledes milieux des segments quandtvarie. On noteracette représentation paramétrique de
10) Calculer
sous une forme simplifiée. En déduire une équation
cartésienne de. Préciser la nature de. §§§
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