ECRI COME Banque dépreuves communes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esc marseille/ icnancy /esc reims/ esrouen /esc toulouse
CONCOURS DADMISSION
option economique
MATHÉMATIQUES
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Lénoncé comporte 5 pages
Année 2006
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de lénoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs a¢ rmations.
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EXERCICE 1 . Onconsidère la fonctionfdénie pour tout réelxpar : x :f(x) =x+ 1 + 2e ainsi que la fonctiongdes deux variables réellesxetydénie par : x2x g(x; y) =e x+y+e
1. Recherchedextremum local deg: 1. Etudierles variations defet donner les limites def(x)lorsquextend vers+1et1. 2. Justierlexistence dune asymptote oblique au voisinage de1et donner la position de la courbe représen-tative defpar rapport à cette asymptote. 3. Déduiredes variations deflexistence dun unique réel, élément de lintervalle[2;1]tel quef() = 0. ( on rappelle quee'2;7) 2 4. Déterminerle seul point critique deg, cest-à-dire le seul couple deR, en lequelgest susceptible de présenter un extremum. 5. Vérierquegprésente un extremum relatifEst-ce un maximum ou un minimum ?en ce point. 6. Montrerque lon a : 2 4+1 = 0
2. Etudedune suite réelle. On sintéresse à la suite(un)dénie par son premier termeu0=1et par la relation n2N f(un) 8n2Nun+1=un 0 f(un) 1. Prouverquefest convexe surR. Endéduire que que pour tous réelsxett:
0 f(x) + (tx)f(x)6f(t) 2. Endéduire linégalité suivante : 8n2N6u n+1 Puis que pour tout entier natureln. : 6un+16un61 En déduire que la suite(un)est convergente vers un réel à préciser n2N 3. Onadmet que pour toutxde lintervalle[2;1] : 2 (x) 0 06(x)f(x)f(x)6 e (a) Prouveralors que pour tout entier natureln: 2 (un) 06un+16 e (b) Puisdémontrer par récurrence que pour tout entier natureln: 1 06u6 nn 2 e1 4. Écrireun programme en langage Pascal permettant, lorsque lentier naturelpest donné par lutilisateur, de calculer une valeur approchée de, de telle sorte que lon ait : p 06un610
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EXERCICE 2 Pour tout entier natureln, on dénit la fonctionfnde la variable réellexpar : 2 x n fn(x) =xexp 2 1 1. Justierquefn(x)au voisinage deest négligeable devant+1. 2 x +1 R 2. Prouverla convergence de lintégralefn(x)dx 0 +1 R 3. OposeIn=fn(x)dx 0
(a) Alaide dune intégration par parties portant sur des intégrales dénies sur le segment[0; A]avecA>0, prouver que pour tout entier natureln:
I= (n+ 1)I n+2n
(b) Enutilisant la loi normale centrée réduite, justier que : r I= 0 2
(c) Donnerla valeur deI1 (d) Démontrerpar récurrence que pour tout entier natureln:
r (2n)! I2n= n 2 2n! n I2n+1= 2n!
4. Soitfla fonction dénie pour tout réelxpar : f(x) =f1(x)six>0 f(x) = 0six <0
(a) Démontrerquefest une densité de probabilité. (b) SoitXune variable aléatoire réelle qui admetfpour densité de probabilité. i. JustierqueXadmet une espéranceE(X), et préciser sa valeur ii. JustierqueXadmet une varianceV(X), et préciser sa valeur.
2 5. Ondésigne parFetGles fonctions de répartitions respectives deXet deY=X
(a) ExprimerG(x)en fonction deF(x)en distinguant les deux cas :x <0etx>0 (b) Endéduire queYest une variable à densité.Reconnaître la loi deYet donner la valeur deE(Y)et V(Y)
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EXERCICE 3 Ecients réels, dont le degré est inférieur ou égal à lentier natureldésigne lespace des fonctions polynômes à coe¢ 2.
1. Etudedun endomorphisme deE. On considère lapplicationfqui, à tout élémentPdeE;associe la fonction polynômeQtelle que : 0 pour toutxréel :Q(x) = (x1)P(x) +P(x) etB= (P0; P1; P2)la base canonique deEdénie par : 2 pour tout réelx:P0(x) = 1; P1(x) =xetP2(x) =x
1. Montrerquefest un endomorphisme deE.
2. Vérierque la matriceAdefdansB, sécrit sous la forme : 0 1 11 0 @ A A= 022 0 0 3
3. Quellessont les valeurs propres def?fest-il diagonalisable ?fest-il un automorphisme deE? 4. Déterminerlimage parfdes fonctions polynômesR0; R1; R2dénies par : 2 pour tout réelx:R0(x) = 1; R1(x) =x1etR2(x) = (x1)
0 5. MontrerqueB= (R0; R1; R2)est une base de vecteurs propres defla matrice de passage. ÉcrirePde la 0 0 baseBà la baseBainsi que la matriceDdefdans la baseB:
6. Vérierque pour tout réelx:
R2x+ 2R1(x) +R0(x) =P2(x) R1(x) +R0(x) =P1(x)
0 En déduire la matrice de passage de la baseBà la baseB
11 7. ÉcrireAen fonction deD :Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln: n n 111 A=PP D n 1 et expliciter la troisième colonne de la matriceA
2. Suitedépreuves aléatoires. On dispose dune urne qui contient trois boules numérotées de 0 à 2. On sintéresse à une suite dépreuves dénies de la manière suivante :
La première épreuve consiste à choisir au hasard une boule dans cette urne.
Sijest le numéro de la boule tirée, on enlève de lurne toutes les boules dont le numéro est strictement supérieur àj, le tirage suivant se faisant alors dans lurne ne contenant plus que les boules numérotées de0 àj.
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eme On considère alors la variable aléatoire réelleXkégale au numéro de la boule obtenue à laképreuve (k>0) On note alorsUkla matrice unicolonne dénie par : 0 1 P[Xk= 0] @ A Uk=P[Xk= 1] P[Xk= 2]
eme oùP[Xk=j]est la probabilité de tirer la boule numérojà laképreuve. On convient de dénir la matriceU0par : 0 1 0 @ A U0= 0 1
1. Déterminerla loi deX2(On pourra saider dun arbre).Calculer lespérance et la variance deX2 2. Parutilisation de la formule des probabilités totales, prouver que pour tout entier naturelk:
1 3. ÉcrireUen fonction deAetU k0
1 Uk+1=A Uk
4. PourtoutkdeN, donner la loi deXket vérier que lon a :