ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET DINDUSTRIE
EPREUVES ESC CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
MATHEMATIQUES
OPTION ECONOMIQUE Année 2006
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage daucun document ; Lusage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.
Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
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EXERCICE 1 0 10 10 1 58 41 41 0 0 @ A@ A@ A On considère les matrices :A= 10 0; T= 02 1; P= 12 1où2R: 0 10 00 21 10 3!!!3 On noteflendomorphisme deRde matriceAdans la base canoniqueB= (e1; e2; e3)deR.
1. Etudieren discutant selonlinversibilité de la matriceP. (Onutilisera la méthode du pivot). 3 2 2. OnnoteQle polynôme déni surRparQ(x) =x+ 5x8x+ 4:
(a) Montrerpar une méthode du pivot que :est valeur propre deA()Q() = 0: (b) CalculerQ(1). Endéduire les valeurs propres deA. (c) Déterminerune base de chaque sous-espace propre deA. La matriceAest-elle diagonalisable ? !! 3. Ondénit les tripletsv1= (1;1;1)etv2= (4;2;1). !!!! (a) Justierquef(v1) =v1et quef(v2) = 2v2: !!!! Déterminer le réel0tel que le tripletv3= (0;1;0)vérief(v3) =v2+ 2v3: (b) Montrergrâce à la question1quePest inversible. 0 0!!!3 En déduire que la familleB= (v1; v2; v3)est une base deR. 0 10 1 9 1 @ A@ A (c) Vérierpar calcul queP8 =1(ce résultat servira en question 4.) 0 6 1 11 alculerP (d) Sansc, justier la relation:A=PT P 0 00 0 1 1 00 n nn1 @ A (e) Montrerque pour tout entier natureln,T= 02n2 n 0 02
4. Onconsidère la suite(un)ainsi dénie : n2N u0= 1;u1=1 ;u2= 1 Pour tout entier natureln; un+3= 5un+28un+1+ 4un 0 1 u n+2 @ A (a) Onpose, pour tout entier natureln,Yn=un+1que. MontrerYn+1=A Yn. u n n1 (b) Montrerpar récurrence que pour tout entier natureln; Y=PP T n 0Y0. 0 (c) Enutilisant la question 3., exprimerunen fonction denpour tout entier natureln.
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EXERCICE 2
Les questions 2 et 3 sont indépendantes.
x On considère la fonctiongdénie surRparg(x) =ex. Pour chaque entier naturelnsupérieur ou égal à 2, on considère léquation notée(En):g(x) =n;dinconnue le réelx..
1. (a)Dresser le tableau des variations degen précisant les limites aux bornes. (b) Montrerque léquation(En)admet exactement deux solutions, lune strictement négative notéenet lautre strictement positive notée. n 2. Danscette question on note(uk)la suite ainsi dénie : k2N u0=1 u k Pour tout entier naturelk; uk+1=e2
(a) Onrappelle que2est le réel strictement négatif obtenu à la question 1.(b) lorsquen= 2 Calculerg(1)etg(2)puis montrer que2661. 2 2 (b) Justierquee2 =2. En déduire par récurrence surkque pour tout entier naturel:26uk61: (c) Enutilisant linégalité des accroissements nis avec une fonction adéquate, montrer que pour tous réels 1 b a aetbtels quea6b61;06ee6(ba): e u k2 (d) Montrerque pour tout entier naturelk,u=ee k+1 2 k 1 En déduire par récurrence sur k que pour tout entier naturelk: 06uk26. e (e) Montrerque la suite(uk)est convergente et de limite2. k2N (f) Onconsidère le programme Turbo-Pascal suivant:( oùtruncdésigne la fonction partie entière) program ex2 ; var N, k :integer ; epsilon, u :real ; begin writeln ( Donnez un reel strictement positif); readln (epsilon ); N := trunc ( - Ln (epsilon ) ) + 1 ; u ._ -1 ; for k := 1 to N do ...........................; end. N 1 Montrer que lentier naturelNcalculé dans ce programme vérie :6epsilon e Compléter la partie pointillée de ce programme an que la variableucontienne après son exécution une valeur approchée de2à epsilon près.
3. Onrevient au cas général oùn>2.
(a) Montrerque16g(lnn)6n:En déduire(ln (2n))>n( on donneln 2'0;69). (b) Endéduire queln (n)66ln (2n), puis établirsln (n). n n n!+1
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EXERCICE 3 Dans cet exerciceRdésigne un réel xé strictement positif et on considère la fonctionfdénie surRpar : ( f(t) = 0sit =2[0 ;R] 2t f(t) =sit2[0 ;R] 2 R 1. (a)Etudier la continuité def. (b) Montrerquefest une densité de probabilité. On note dans toute la suiteXune variable aléatoire réelle de densitéf.FXdésigne sa fonction de répartition. 2. (a)Déterminer la valeurFX(x)lorsquex <0, puis lorsquex > R: 2 x (b) Montrerque pour tout réelxde[0;R],FX(x) =. 2 R 2R 3. (a)Montrer queXadmet une espérance et queE(X) =: 3 2 R (b) MontrerqueXadmet une variance et queV(X) =: 18 Dans toute la suitendésigne un entier naturel non nul etX1; X2; :::; Xndes variables aléatoires in-dépendantes et de même loi queXcherche à estimer le réel. OnRà laide deX1; X2; ::; Xn. n 3P 4. OnnoteTn=Xket on cherche à estimerRavecTn: 2n k=1 Montrer queTnest un estimateur sans biais deRet calculer son risque quadratique notér(Tn): 5. On noteMnla variable aléatoire prenant pour valeur le maximum des valeurs prises par les variables X1; X2; ::; Xn, de sorte que pour tout réelx;(Mn6x) = (X16x)\(X26x)\ \(Xn6x): n (a) Montrerque pour tout réelx,P(Mn6x) = (FX(x)). Endéduire la fonction de répartition deMn, puis montrer queMnest une variable aléatoire à densité. (b) Montrerquune densité possible deMnest la fonctiongndénie surRpar : 8 2n1 <t gn(t) = 2nsit2[0;R] 2n R : gn(t) = 0sit2=[0;R] (c) MontrerqueMnadmet une espérance et une variance, et que: 2n n 2 E(Mn) =RetV(Mn) =R 2 2n+ 1 (n+ 1) (2n+ 1)
(d) Oncherche à estimerRavecMn: Calculer le biais deMn, notéb(Mn), et son risque quadratique notér(Mn).
6. (a)Déterminer un équivalent simple lorsquentend vers1deb(Mn)etr(Mn). (b) Quelssont les avantages et les inconvénients réciproques des estimateursTnetMn?