Les candidats ne doivent pas faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Problème I Préliminaires 21 nt 1. (a)Justier, pour toutn2N:t e=o. 2 t t!+1 +1 Z 2 nt (b) Montrerque, pour toutn2N, lintégralet edtest convergente. 1 +1 Z 2 t 2. Endéduire que, pour tout polynômePdeR[X], lintégraleP(t)e dtconverge. 1 +1 Z 2p t On admet dans tout le problème :e dt=. 1 +1 Z 2 nt On note, dans tout le problème, pour toutn2N:In=dtt e. 1 n+ 1 3. (a)tablir, à laide dune intégration par parties, pour toutn2N:In+2=In. 2 (b) Montrer,pour toutp2N:I2p+1= 0. (2p)!p (c) Montrer,pour toutp2N:I2p=. 2p 2p! I. Recherche dextrémums locaux pour une fonction de deux variables réelles 2 2 On noteF:R!Rlapplication dénie, pour tout(x; y)2R, par : +1 Z 12 2 2t F(x; y) =p(tx) (ty)e dt 1 3 1 2 22 22 1. Montrer,pour tout(x; y)2R:F(x; y) =+ (x+ 4xy+y) +x y. 4 2 2 2. Calculer les dérivées partielles premières deFen tout point(x; y)deR, et en déduire les trois points critiques deF.
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3. Déterminerles extrémums locaux deFchacun de ceux-ci, préciser sil sagit dun minimum local ou. En dun maximum local, et préciser la valeur deFen chacun de ces points.
II. Calcul dintégrales dépendant dun paramètre +1+1 Z Z 2 2 tt 1. Montrerque, pour toutx2R, les intégralessin(xt)e dtettcos(xt)e dtconvergent. 0 0 On noteS:R!RetC:R!Rles applications dénies, pour toutx2R, par : +1+1 Z Z 2 2 tt S(xsin() =xt)e dtetC(x) =tcos(xt)e dt 0 0 2 2. Etablir,pour touta2R, et tout2R:jsin(a+)sinacosaj6. 2 On pourra utiliser linégalité de Taylor-Lagrange. S(x+h)S(x) 3. (a)Démontrer, pour toutx2R:C(x)!0. hh!0 0 (b) Endéduire queSest dérivable surR, et que, pour toutx2R; S(x) =C(x). 1x 4. (a)A laide dune intégration par parties, établir, pour toutx2R:C(x) =S(x). 2 2 2 2 x xZt (b) Montrer,pour toutx2R: 2e4S(x) =e4dt. 0 (c) Endéduire, pour toutx2R: 2 22 2 x x xZt xZt 1 1x S(x) =e4e4dtetC(x) =e4e4dt 2 24 0 0 III. Obtention dun développement limité +1 Z 12 t 1. Montrerque, pour toutx2R, lintégralee dtconverge. 2 2 1 +x t 1 +1 Z 12 t On noteg:R!Rlapplication dénie, pour toutx2R, par :g(x) =e dt. 2 2 1 +x t 1 1 2 3 2. (a)Montrer, pour toutu2[0; +10[ :6(1u+u)6u. 1 +u +1 Zp 215 2 24 4t6 (b) Endéduire, pour toutx2R: 06(1x t+x t)e dtg(x)6x. 8 1 3. Montrerquegadmet un développement limité à lordre5en0, et former ce développement limité.
IV. Nature dune série +1 Z 2p t2 t 1. Montrerque, pour toutp2N, lintégralee dtconverge. 2 t+ (2p)! 1 +1 Z 2p t2 t On note, pour toutp2N:up=e dt. 2 t+ (2p)! 1
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I 2p 2. Montrer,pour toutp2N: 06up6. (2p)! En déduire que la série de terme généralupest convergente.
Problème II Soitnun entier supérieur ou égal à2. Ondésigne parIn, la matrice unité deMn(C). n On considère unn-uplet(a ;:::; aa ;)deCet le polynôme : 0 1n1 n n1 P=X+an1X+ +a1X+a0 0 1 0 0a 0 . . . 1 (0).a1 . . . . 0. .. . On noteCla matrice deMn(C)dénie parC= . . . . . . .. . ... B. .C . . @.(0). .0aA n2 0 0 1a n1 On dit queCest la matrice compagnon du polynômeP. n On noteB0= (e1; : : : ; en)la base canonique deC. n n On noteIdlapplication identité deCet on appelleflendomorphisme deCtel queCsoit la matrice associée àfrelativement à la baseB0. 0k+1k On notef= Idet, pour tout entier naturelk,f=ff. 1. (a)Exprimer, pour touti2[1; n1]],f(ei)en fonction deei+1. j n (b) Endéduire :8j2[1; n1]]; f(e1) =ej+1etf(e1) =(a0e1+a1e2+ +an1en). n nn1 2. Soitglendomorphisme deCdéni parg=f+an1f+ +a1f+a0Id.
(a) Vérier:g(e1) = 0. i i (b) Montrer:8i2N; gf=fg. (c) Endéduire :8i2[1; n]]; g(ei) = 0. (d) Montrerque le polynômePest annulateur de lendomorphismef. 5 32 Application 1:Déterminer une matriceA2M5(C)telle queA=A+ 2A+I5. (e) tablirque toutes les valeurs propres deCsont des racines du polynômeP.
n1 3. (a)SoitQ=0+1X+ +an1Xun polynôme non nul et de degré inférieur ou égal àn1. n n1 On noteQ(f)lendomorphisme deCdéni parQ(f) =0Id +1f+ +n1f. CalculerQ(f)(e1). (b) Endéduire quil nexiste pas de polynôme non nul, de degré inférieur ou égal àn1et annulateur de f. (c) Soitune racine du polynômeP. Il existe donc un unique polynômeR2C[X]tel queP= (X)R. n ~ ~ Vérier que(fId)R(f) = 0, où0est lendomorphisme nul deC. (d) Conclureque toutes les racines du polynômePsont des valeurs propres deC.
4. (a)Montrer que, pour tout nombre complexex, la matrice(CxIn)est de rang supérieur ou égal àn1. En déduire que chaque sous-espace propre deCest de dimension1. (b) Endéduire queCest diagonalisable si et seulement siPadmetnracines deux à deux distinctes. 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 B C 5. (a)Montrer que la matriceA1=deM4(C)est diagonalisable. @ A 0 1 0 0 0 0 1 0
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0 1 0 0 04 1 0 08 B C (b) Montrerque la matriceA2=deM4(C)nest pas diagonalisable. @ A 0 1 03 0 0 12 t 6. OnnoteB=Cla matrice transposée deC.
(a) Montrer que, pour tout nombre complexet, la matrice(BtIn)est inversible si et seulement si la matrice(CtIn)est inversible. (b) Endéduire que les matricesBetCont les mêmes valeurs propres. (c) Soitune valeur propre deBune base du sous-espace propre de. DéterminerBassocié à. (d) Onsuppose que le polynômePadmetnracines1; :::; ndeux à deux distinctes.Montrer queBest 0 1 1 1 1 12 n 2 22 diagonalisable et en déduire que la matriceV=1 2nest inversible. B C @ A . .. n1n1n1 1 2n 7. SoitEunC-espace vectoriel de dimensionnetuun endomorphisme deEadmettantnvaleurs propres ;:::; deux à deux distinctes. 1n Lendomorphismeuest donc diagonalisable et on noteE= (e1; :::; en)une base deEconstituée de vecteurs propres deurespectivement associés à:::; ;. 1n n1 (a) Soita="1+"2+ +"n. Montrerque la familleBa=a; u(a); :::; u(a)est une base deE. n n1 (b) Montrerquil existe un polynômeP1=X+bn1X+ +b1X+b0tel que la matrice associée à n1 urelativement à la baseBa=a; u(a); :::; u(a)soit la matrice compagnon du polynômeP1.